integral 1x^3 e^1 / x d x.

Passo 1

Vamos resolver o seguinte exercício de cálculo integral:
integral 1x^3 e^1 / x dx
Esse problema envolve técnicas de integração, especialmente a substituição e a integração por partes. Para resolver, precisaremos identificar uma substitição apropriada para simplificar a integral e então aplicar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 1x
Dessa forma, precisamos expressar dx em termos de du. Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
du = -1x^2 dx
Isolando dx:
dx = -x^2 du

Passo 3

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral 1x^3 e^1 / x dx = integral 1x^3 e^u (-x^2 du)
Simplificando os termos:
integral 1x^3 cdot (-x^2) e^u du = -integral 1x e^u du
Mas como u = 1x, temos que x = 1u. Substituindo:
-integral 11u e^u du = -integral u e^u du

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral u e^u du. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é dada por:
integral u , dv = u v - integral v , du
Escolhemos:
a = u e db = e^u du
Então, derivando e integrando, temos:
da = du e b = e^u
Aplicando a integração por partes:
integral u e^u du = u e^u - integral e^u du = u e^u - e^u + C

Passo 5

Voltando à nossa integral original:
-integral u e^u du = - (u e^u - e^u) + C = -u e^u + e^u + C
Substituindo u = 1x de volta:
- 1x e^1/x + e^1/x + C = (1 - 1x) e^1/x + C

Resposta

A integral é:
integral 1x^3 e^1 / x dx = (1 - 1x) e^1/x + C,
onde C é a constante de integração.

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