Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = (2yx - 3 cos(x)) i + (x^2 + 5 e^y + 3x) j para deslocar uma partícula sobre a curva retangular formada pelos segmentos de reta de (-1,4) a 2,4, de 2,4 a (2,1), de (2,1) a (-1, 1) e de (-1, 1) a (-1,4).

Passo 1

Estamos com um exercício de cálculo vetorial onde precisamos descobrir o trabalho que um campo de força específico realiza ao mover uma partícula ao longo de um caminho retangular. Isso envolve conceitos de integrais de linha e análise de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo de força dado:
Queremos calcular o trabalho realizado por ao longo de um caminho que forma um retângulo com os vértices em , , , e .

Passo 3

O trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, representa o produto escalar entre o campo de força e o elemento infinitesimal de deslocamento.

Passo 4

Antes de calcular a integral, vamos verificar se o campo é conservativo. Se for, podemos simplificar o cálculo usando uma função potencial. Um campo é conservativo se a derivada cruzada das suas componentes é igual, ou seja:
Calculando:
Como , o campo não é conservativo. Portanto, teremos que calcular a integral de linha diretamente ao longo de cada segmento do caminho.

Passo 5

Vamos dividir o caminho em quatro segmentos:
  1. Segmento 1: De a (horizontal superior).
  2. Segmento 2: De a (vertical direita).
  3. Segmento 3: De a (horizontal inferior).
  4. Segmento 4: De a (vertical esquerda).
Vamos calcular o trabalho em cada segmento e depois somar todos.

Passo 6

Segmento 1: De a
Aqui, é constante e varia de a .
Parametrização:
Derivada:
Calculando :
Integral do trabalho no segmento 1:

Passo 7

Calculando :
Simplificando:

Passo 8

Segmento 2: De a
Aqui, é constante e varia de para .
Parametrização:
Derivada:
Calculando :
Integral do trabalho no segmento 2:

Passo 9

Calculando :

Passo 10

Segmento 3: De a
Aqui, é constante e varia de para .
Parametrização:
Derivada:
Calculando :
Integral do trabalho no segmento 3:

Passo 11

Calculando :
Simplificando:

Passo 12

Segmento 4: De a
Aqui, é constante e varia de para .
Parametrização:
Derivada:
Calculando :
Integral do trabalho no segmento 4:

Passo 13

Calculando :

Passo 14

Agora, somamos os trabalhos dos quatro segmentos:
Simplificando:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao deslocar a partícula sobre o caminho retangular é .

Exercícios relacionados

Enuncie corretamente o Teorema de Green.
Calcule, usando o método da substituição:
(w) integral e^-2 x d x
Use o Teorema de Green para calcular integralC F d r (Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema):
F(x, y)=(y^3,-x^3), C é a circunferência x^2+y^2=4, orientada no sentido anti-horário, percorrido uma única vez.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = (2y^2 - e^(-5x + 3) cos(x)) i + (x^2 + y^3 cos(y)) j para deslocar uma partícula sobre a curva r(t) = (2 cos(t), 2 sen(t)), 0 <= t <= 2 pi.