Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para deslocar uma partícula sobre a curva retangular formada pelos segmentos de reta de
a
, de
a
, de
a
e de
a
.
Passo 1
Estamos com um exercício de cálculo vetorial onde precisamos descobrir o trabalho que um campo de força específico realiza ao mover uma partícula ao longo de um caminho retangular. Isso envolve conceitos de integrais de linha e análise de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo de força dado:
Queremos calcular o trabalho realizado por
ao longo de um caminho
que forma um retângulo com os vértices em
,
,
, e
.
Passo 3
O trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui,
representa o produto escalar entre o campo de força e o elemento infinitesimal de deslocamento.
Passo 4
Antes de calcular a integral, vamos verificar se o campo
é conservativo. Se for, podemos simplificar o cálculo usando uma função potencial. Um campo é conservativo se a derivada cruzada das suas componentes é igual, ou seja:
Calculando:
Como
, o campo não é conservativo. Portanto, teremos que calcular a integral de linha diretamente ao longo de cada segmento do caminho.
Passo 5
Vamos dividir o caminho
em quatro segmentos:
- Segmento 1: De
a (horizontal superior). - Segmento 2: De
a (vertical direita). - Segmento 3: De
a (horizontal inferior). - Segmento 4: De
a (vertical esquerda).
Vamos calcular o trabalho em cada segmento e depois somar todos.
Passo 6
Segmento 1: De
a
Aqui,
é constante e
varia de
a
.
Parametrização:
Derivada:
Calculando
:
Integral do trabalho no segmento 1:
Passo 7
Calculando
:
Simplificando:
Passo 8
Segmento 2: De
a
Aqui,
é constante e
varia de
para
.
Parametrização:
Derivada:
Calculando
:
Integral do trabalho no segmento 2:
Passo 9
Calculando
:
Passo 10
Segmento 3: De
a
Aqui,
é constante e
varia de
para
.
Parametrização:
Derivada:
Calculando
:
Integral do trabalho no segmento 3:
Passo 11
Calculando
:
Simplificando:
Passo 12
Segmento 4: De
a
Aqui,
é constante e
varia de
para
.
Parametrização:
Derivada:
Calculando
:
Integral do trabalho no segmento 4:
Passo 13
Calculando
:
Passo 14
Agora, somamos os trabalhos dos quatro segmentos:
Simplificando:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força ao deslocar a partícula sobre o caminho retangular é
.
Exercícios relacionados
Enuncie corretamente o Teorema de Green.
Calcule, usando o método da substituição:
(w)
(w)
Use o Teorema de Green para calcular
(Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema):
é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário, percorrido uma única vez.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para deslocar uma partícula sobre a curva
.