Use o Teorema de Green para calcular
(Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema):
é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário, percorrido uma única vez.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. O campo vetorial dado é
e a curva
é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a orientação da curva
. O enunciado já nos diz que a circunferência está orientada no sentido anti-horário, o que significa que a região está à esquerda conforme percorremos
. Essa orientação é importante para aplicar corretamente o Teorema de Green.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que diz:
onde
e
é a região delimitada por
.
Passo 4
Identificando
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
A região
é a circunferência
, que é um círculo de raio
. Para simplificar a integral, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
e o elemento de área
.
A integral fica:
Integrando em
:
Integrando em
:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para deslocar uma partícula sobre a curva retangular formada pelos segmentos de reta de
a
, de
a
, de
a
e de
a
.
Enuncie corretamente o Teorema de Green.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para deslocar uma partícula sobre a curva
.
Utilize o Teorema de Green para determinar a área da região