Use o Teorema de Green para calcular integralC F d r (Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema):
F(x, y)=(y^3,-x^3), C é a circunferência x^2+y^2=4, orientada no sentido anti-horário, percorrido uma única vez.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha integralC F , dr usando o Teorema de Green. O campo vetorial dado é F(x, y) = (y^3, -x^3) e a curva C é a circunferência x^2 + y^2 = 4, orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a orientação da curva C. O enunciado já nos diz que a circunferência está orientada no sentido anti-horário, o que significa que a região está à esquerda conforme percorremos C. Essa orientação é importante para aplicar corretamente o Teorema de Green.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que diz:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
onde F = (P, Q) e D é a região delimitada por C.

Passo 4

Identificando P e Q no nosso campo vetorial:
P = y^3 e Q = -x^3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (-x^3)partial x = -3x^2
partial Ppartial y = partial (y^3)partial y = 3y^2
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( -3x^2 - 3y^2 ) , dA = -3 integral duplaD (x^2 + y^2) , dA

Passo 5

A região D é a circunferência x^2 + y^2 = 4, que é um círculo de raio 2. Para simplificar a integral, vamos usar coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta. Assim, x^2 + y^2 = r^2 e o elemento de área dA = r , dr , dtheta.
A integral fica:
-3 integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot r , dr , dtheta = -3 integral0^2pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta
Integrando em r:
-3 integral0^2pi [ r^44 ]0^2 , dtheta = -3 integral0^2pi ( 164 ) , dtheta = -3 integral0^2pi 4 , dtheta = -12 integral0^2pi , dtheta
Integrando em theta:
-12 [ theta ]0^2pi = -12 (2pi) = -24pi

Resposta

A integral integralC F , dr vale -24pi.

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