Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = (2y^2 - e^(-5x + 3) cos(x)) i + (x^2 + y^3 cos(y)) j para deslocar uma partícula sobre a curva r(t) = (2 cos(t), 2 sen(t)), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o trabalho realizado por um campo de força específico quando uma partícula se move ao longo de uma curva definida. Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, mais precisamente com integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o campo de força ao longo dessa curva e, por fim, integrar para achar o trabalho total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva pela qual a partícula está se movendo. Ela é dada por:
Isso significa que a partícula está se movendo em um círculo de raio 2, pois as componentes e descrevem um círculo centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos achar a derivada da posição em relação ao tempo, que é a velocidade da partícula:

Passo 4

Em seguida, substituímos as expressões de e no campo de força :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando:

Passo 6

O trabalho realizado é a integral dessa expressão de a :
Esse integral pode ser complicado para resolver analiticamente devido à presença de termos como e . Geralmente, nesses casos, utilizamos métodos numéricos ou ferramentas computacionais para obter uma aproximação do valor do trabalho.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao deslocar a partícula ao longo da curva é dado pela integral acima. Para obter um valor numérico preciso, recomenda-se utilizar softwares de cálculo ou métodos numéricos apropriados.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Green para calcular integralC F d r (Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema):
F(x, y)=(y^3,-x^3), C é a circunferência x^2+y^2=4, orientada no sentido anti-horário, percorrido uma única vez.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = (2yx - 3 cos(x)) i + (x^2 + 5 e^y + 3x) j para deslocar uma partícula sobre a curva retangular formada pelos segmentos de reta de (-1,4) a 2,4, de 2,4 a (2,1), de (2,1) a (-1, 1) e de (-1, 1) a (-1,4).
Utilize o Teorema de Green para determinar a área da região
D = {(x, y) ∈ R² | x²/4 + y²/16 ≤ 1, x ≥ 0}
Sejam D uma região plana do tipo I ou do tipo II e C=partial D. Seja A a área de D. Use o Teorema de Green para mostrar que:
A=ointC x d y=-ointC y d x=12 ointC x d y-y d x