Enuncie corretamente o Teorema de Green.

Passo 1

Beleza, a gente precisa enunciar corretamente o Teorema de Green. Esse teorema é parte do Cálculo Vetorial e é super importante quando estamos lidando com integrais de linha e integrais duplas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green relaciona essas integrais em uma região do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Teorema de Green conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Isso basicamente permite transformar uma integral difícil ao redor de uma curva em uma integral mais fácil sobre a área interna.

Passo 3

Além disso, é importante que a curva seja “positivamente orientada”, ou seja, que quando a gente percorre a curva, a região interior fique sempre à esquerda. Também precisamos que as funções envolvidas sejam diferenciáveis, garantindo que as derivadas parciais existam.

Passo 4

Agora, com tudo isso em mente, vamos formular o Teorema de Green de maneira correta, incluindo todas as condições e a relação entre as integrais.

Resposta

Teorema de Green: Seja uma curva fechada e positivamente orientada que delimita uma região no plano, onde e são funções de classe em uma vizinhança de . Então,

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Calcule, usando o método da substituição:
(w) integral e^-2 x d x
Calcule, usando o método da substituição:
® integral e^xraizx d x
Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = (2yx - 3 cos(x)) i + (x^2 + 5 e^y + 3x) j para deslocar uma partícula sobre a curva retangular formada pelos segmentos de reta de (-1,4) a 2,4, de 2,4 a (2,1), de (2,1) a (-1, 1) e de (-1, 1) a (-1,4).
Use o Teorema de Green para calcular integralC F d r (Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema):
F(x, y)=(y^3,-x^3), C é a circunferência x^2+y^2=4, orientada no sentido anti-horário, percorrido uma única vez.