Enuncie corretamente o Teorema de Green.
Passo 1
Beleza, a gente precisa enunciar corretamente o Teorema de Green. Esse teorema é parte do Cálculo Vetorial e é super importante quando estamos lidando com integrais de linha e integrais duplas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green relaciona essas integrais em uma região do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Teorema de Green conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Isso basicamente permite transformar uma integral difícil ao redor de uma curva em uma integral mais fácil sobre a área interna.
Passo 3
Além disso, é importante que a curva seja “positivamente orientada”, ou seja, que quando a gente percorre a curva, a região interior fique sempre à esquerda. Também precisamos que as funções envolvidas sejam diferenciáveis, garantindo que as derivadas parciais existam.
Passo 4
Agora, com tudo isso em mente, vamos formular o Teorema de Green de maneira correta, incluindo todas as condições e a relação entre as integrais.
Resposta
Teorema de Green: Seja
uma curva fechada e positivamente orientada que delimita uma região
no plano, onde
e
são funções de classe
em uma vizinhança de
. Então,
Exercícios relacionados
Calcule, usando o método da substituição:
(w)
(w)
Calcule, usando o método da substituição:
®
®
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para deslocar uma partícula sobre a curva retangular formada pelos segmentos de reta de
a
, de
a
, de
a
e de
a
.
Use o Teorema de Green para calcular
(Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema):
é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário, percorrido uma única vez.