Sejam
uma região plana do tipo I ou do tipo II e
. Seja
a área de
. Use o Teorema de Green para mostrar que:
Passo 1
Beleza, então o enunciado fala sobre uma região plana
que pode ser do tipo I ou II, com
sendo o contorno dessa região. A área dessa região é
. A gente vai usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor do contorno
com integrais duplas sobre a região
. Nosso objetivo é mostrar que:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma função vetorial
, temos:
Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor do contorno
com uma integral dupla sobre a região
.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema de Green para encontrar uma expressão para a área
. Sabemos que a área pode ser escrita como:
Queremos expressar
como uma integral de linha ao redor de
, então precisamos escolher funções
e
de forma que a integral dupla pelo Teorema de Green dê exatamente
.
Passo 4
Para isso, vamos escolher
e
. Com essas escolhas, o lado direito do Teorema de Green fica:
Então, a integral dupla fica:
E o Teorema de Green nos dá:
Passo 5
Agora, para mostrar que
, vamos escolher
e
. Aplicando o Teorema de Green:
A integral dupla novamente é:
E a integral de linha fica:
Passo 6
Por último, para a expressão
, basta somar as duas equações que encontramos:
Mas queremos a diferença, então:
Dividindo por 2, temos:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Utilize o Teorema de Green para determinar a área da região
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para deslocar uma partícula sobre a curva
.
Seja
uma região delimitada por uma curva
fechada, simples, lisa por partes, no plano
. Definimos o centróide de
como o ponto
dado por
em que
é a área da região
.
Utilize o Teorema de Green para mostrar que as coordenadas do centróide de
são
Utilize o Teorema de Green para mostrar que as coordenadas do centróide
em que
e
.
Utilizando as regras de derivação, encontre a derivada de cada um das funções abaixo.