Utilize o Teorema de Green para determinar a área da região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para encontrar a área da região
, que é definida pela elipse
e
. Basicamente, vamos precisar entender como o Teorema de Green relaciona integrais de linha com integrais duplas, o que nos ajudará a calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para uma região
com fronteira
, podemos converter uma integral de linha ao redor de
em uma integral dupla sobre
. Para calcular a área usando o Teorema de Green, usamos a fórmula:
Isso significa que podemos calcular a área apenas fazendo uma integral de linha ao redor da fronteira da região.
Passo 3
Vamos identificar a fronteira
da região
. A região
é a metade direita de uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 (no eixo
) e 4 (no eixo
). A equação da elipse completa é
, e como
, estamos olhando para a metade onde
é positivo.
Passo 4
Para fazer a parametrização da fronteira
, podemos usar um parâmetro
que varia de
a
para cobrir a metade direita da elipse. A parametrização fica:
Aqui,
varia de
a
para percorrer a elipse de baixo para cima.
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
em termos de
:
Essas derivadas serão usadas na nossa integral de linha.
Passo 6
Substituindo na fórmula da área, temos:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Calculando as integrais:
-
-
Para
, usamos a identidade :
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para deslocar uma partícula sobre a curva
.
Use o Teorema de Green para calcular
(Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema):
é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário, percorrido uma única vez.
Sejam
uma região plana do tipo I ou do tipo II e
. Seja
a área de
. Use o Teorema de Green para mostrar que:
Seja
uma região delimitada por uma curva
fechada, simples, lisa por partes, no plano
. Definimos o centróide de
como o ponto
dado por
em que
é a área da região
.
Utilize o Teorema de Green para mostrar que as coordenadas do centróide de
são
Utilize o Teorema de Green para mostrar que as coordenadas do centróide
em que
e
.