Utilize o Teorema de Green para determinar a área da região
D = {(x, y) ∈ R² | x²/4 + y²/16 ≤ 1, x ≥ 0}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para encontrar a área da região , que é definida pela elipse e . Basicamente, vamos precisar entender como o Teorema de Green relaciona integrais de linha com integrais duplas, o que nos ajudará a calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para uma região com fronteira , podemos converter uma integral de linha ao redor de em uma integral dupla sobre . Para calcular a área usando o Teorema de Green, usamos a fórmula:
Á
Isso significa que podemos calcular a área apenas fazendo uma integral de linha ao redor da fronteira da região.

Passo 3

Vamos identificar a fronteira da região . A região é a metade direita de uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 (no eixo ) e 4 (no eixo ). A equação da elipse completa é , e como , estamos olhando para a metade onde é positivo.

Passo 4

Para fazer a parametrização da fronteira , podemos usar um parâmetro que varia de a para cobrir a metade direita da elipse. A parametrização fica:
Aqui, varia de a para percorrer a elipse de baixo para cima.

Passo 5

Agora, vamos calcular e em termos de :
Essas derivadas serão usadas na nossa integral de linha.

Passo 6

Substituindo na fórmula da área, temos:
Á

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, a integral fica:
Á
Integrando termo a termo:

Passo 9

Calculando as integrais:
  1. Para , usamos a identidade :

Passo 10

Substituindo de volta:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = (2y^2 - e^(-5x + 3) cos(x)) i + (x^2 + y^3 cos(y)) j para deslocar uma partícula sobre a curva r(t) = (2 cos(t), 2 sen(t)), 0 <= t <= 2 pi.
Use o Teorema de Green para calcular integralC F d r (Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema):
F(x, y)=(y^3,-x^3), C é a circunferência x^2+y^2=4, orientada no sentido anti-horário, percorrido uma única vez.
Sejam D uma região plana do tipo I ou do tipo II e C=partial D. Seja A a área de D. Use o Teorema de Green para mostrar que:
A=ointC x d y=-ointC y d x=12 ointC x d y-y d x
Seja D uma região delimitada por uma curva C fechada, simples, lisa por partes, no plano x y. Definimos o centróide de D como o ponto (barx, bary) in D dado por
barx=1A integral duplaD x d A, bary=1A integral duplaD y d A
em que A é a área da região D.
Utilize o Teorema de Green para mostrar que as coordenadas do centróide (barx, bary) de D são
barx=12 A ointC F1 d r, bary=-12 A ointC F2 d r
em que F1(x, y)=x^2 j e F2(x, y)=y^2 i.