A lei de Gravitação de Newton afirma que a intensidade da força gravitacional entre dois objetos de massas
e
é
onde
é a distância entre os objetos e
é a constante gravitacinal. Supondo que o objeto com massa
esteja localizado na origem de
e que o vetor posição do objeto com massa
é
, então
. A força gravitacional nesse segundo objeto age em direção à origem e o vetor unitário em sua direção é
. Portanto a força gravitacional agindo no objeto em
é:
Com a ajuda de algum software, determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover uma partícula de massa
ao longo do segmento de reta que liga
a
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com a Lei da Gravitação de Newton, que descreve a força gravitacional entre dois objetos. Aqui, temos dois objetos com massas
e
, e queremos calcular o trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover uma partícula de massa
de um ponto
para outro ponto
ao longo de uma linha reta.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Força gravitacional: Como é calculada entre dois pontos.
- Trabalho realizado por um campo: Usando integrais de linha.
- Parâmetros do movimento: Representar a trajetória de forma matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o trabalho
realizado por uma força ao mover um objeto ao longo de uma trajetória é dado pela integral de linha da força ao longo desse caminho:
Aqui,
é a força gravitacional e
é um elemento infinitesimal do caminho
.
Passo 3
Vamos parametrizar a trajetória de
a
. Para isso, usamos um parâmetro
que varia de 0 a 1:
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na expressão da força gravitacional:
Substituindo
,
,
:
Passo 5
Agora, calculamos o trabalho
integrando
de
a
:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 6
Simplificando ainda mais a expressão no numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a expressão dentro da raiz no denominador:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Essa integral pode ser resolvida usando um software de cálculo simbólico, como o Wolfram Alpha ou o Mathematica. Após calcular a integral, obtemos o valor do trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a partícula ao longo da trajetória especificada.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a partícula de massa
ao longo da reta de
a
é dado pela integral:
Após resolver essa integral com a ajuda de um software, obtemos o valor final do trabalho realizado.