A lei de Gravitação de Newton afirma que a intensidade da força gravitacional entre dois objetos de massas e é onde é a distância entre os objetos e é a constante gravitacinal. Supondo que o objeto com massa esteja localizado na origem de e que o vetor posição do objeto com massa é , então . A força gravitacional nesse segundo objeto age em direção à origem e o vetor unitário em sua direção é . Portanto a força gravitacional agindo no objeto em é:
Com a ajuda de algum software, determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover uma partícula de massa ao longo do segmento de reta que liga a .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com a Lei da Gravitação de Newton, que descreve a força gravitacional entre dois objetos. Aqui, temos dois objetos com massas e , e queremos calcular o trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover uma partícula de massa de um ponto para outro ponto ao longo de uma linha reta.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
Força gravitacional: Como é calculada entre dois pontos.
Trabalho realizado por um campo: Usando integrais de linha.
Parâmetros do movimento: Representar a trajetória de forma matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o trabalho realizado por uma força ao mover um objeto ao longo de uma trajetória é dado pela integral de linha da força ao longo desse caminho:
Aqui, é a força gravitacional e é um elemento infinitesimal do caminho .
Passo 3
Vamos parametrizar a trajetória de a . Para isso, usamos um parâmetro que varia de 0 a 1:
Derivando em relação a :
Passo 4
Agora, vamos substituir na expressão da força gravitacional:
Substituindo , , :
Passo 5
Agora, calculamos o trabalho integrando de a :
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 6
Simplificando ainda mais a expressão no numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a expressão dentro da raiz no denominador:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Essa integral pode ser resolvida usando um software de cálculo simbólico, como o Wolfram Alpha ou o Mathematica. Após calcular a integral, obtemos o valor do trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a partícula ao longo da trajetória especificada.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a partícula de massa ao longo da reta de a é dado pela integral:
Após resolver essa integral com a ajuda de um software, obtemos o valor final do trabalho realizado.