Sejam
e q números reais com
. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
, onde
e
são números reais com
. Vamos usar o conteúdo de séries de potências e entender como determinar o centro e o raio de convergência para construir essa série.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o centro da série de potências. O centro (
) é o ponto ao redor do qual a série será expandida. Para que o intervalo de convergência seja
, o centro deve ser o ponto médio entre
e
. Então, calculamos:
Passo 3
Agora, determinamos o raio (
) da série de potências. O raio de convergência é a metade da distância entre
e
, ou seja:
Passo 4
Com o centro
e o raio
definidos, podemos escrever a série de potências genérica que terá o intervalo de convergência
. A forma geral de uma série de potências centrada em
com raio
é:
Onde os
são os coeficientes da série. Essa série terá seu intervalo de convergência exatamente em
.
Resposta
Uma série de potências centrada em
com raio
, ou seja:
tem intervalo de convergência
.
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a
.