Sejam p e q números reais com p < q. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
[p, q]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma série de potências cujo intervalo de convergência seja , onde e são números reais com . Vamos usar o conteúdo de séries de potências e entender como determinar o centro e o raio de convergência para construir essa série.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o centro da série de potências. O centro ( ) é o ponto ao redor do qual a série será expandida. Para que o intervalo de convergência seja , o centro deve ser o ponto médio entre e . Então, calculamos:

Passo 3

Agora, determinamos o raio ( ) da série de potências. O raio de convergência é a metade da distância entre e , ou seja:

Passo 4

Com o centro e o raio definidos, podemos escrever a série de potências genérica que terá o intervalo de convergência . A forma geral de uma série de potências centrada em com raio é:
Onde os são os coeficientes da série. Essa série terá seu intervalo de convergência exatamente em .

Resposta

Uma série de potências centrada em com raio , ou seja:
tem intervalo de convergência .

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