Determine o trabalho realizado para carregar a carga q=+2 mu C, carga pontual a partir do ponto A=(0,-3,0), para o ponto B= (1,0,0), em um campo elétrico não uniforme E=(3 x+y) i+x j-3 k ao longo de:
(a) Uma linha reta do caminho mais curto,

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que precisamos usar.
Enunciado: Queremos calcular o trabalho realizado para mover uma carga pontual do ponto para o ponto em um campo elétrico não uniforme dado por . O movimento será feito ao longo de uma linha reta, ou seja, o caminho mais curto.
Conteúdo da matéria: Para resolver este problema, vamos utilizar o conceito de trabalho realizado por um campo elétrico, que é dado pela integral de linha , onde é o caminho seguido pela carga.
O que vamos precisar:
  1. Parametrizar o caminho reto de a .
  2. Expressar o campo elétrico ao longo desse caminho.
  3. Calcular o produto interno .
  4. Integrar ao longo do caminho e multiplicar pela carga para encontrar o trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho reto de r(t) = A + t(B - A) a r(t) = (0, -3, 0) + t(1 - 0, 0 - (-3), 0 - 0) = (t, -3 + 3t, 0) . Podemos usar uma variável x(t) = t, y(t) = -3 + 3t, z(t) = 0 , que varia de 0 a 1, para representar a posição ao longo do caminho.
A posição vetorial no caminho será:
Substituindo os pontos e :
Portanto, as componentes são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de drdt = ( dxdt, dydt, dzdt ) = (1, 3, 0) em relação a , que nos dá o vetor diferencial :
Então, .

Passo 4

Em seguida, precisamos expressar o campo elétrico E(t) = (3x(t) + y(t))i + x(t)j - 3k = (3t + (-3 + 3t))i + tj - 3k ao longo do caminho parametrizado E(t) = (6t - 3)i + tj - 3k . Substituindo , e na expressão de :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o produto interno E(t) cdot drdt = (6t - 3)(1) + t(3) + (-3)(0) = 6t - 3 + 3t = 9t - 3 :

Passo 6

Finalmente, integramos o produto interno de W = q integral0^1 (9t - 3) dt a integral0^1 (9t - 3) dt = [92t^2 - 3t]0^1 = (92(1)^2 - 3(1)) - (0 - 0) = 92 - 3 = 32 e multiplicamos pela carga W = q times 32 = 2 times 10^-6,C times 32 = 3 times 10^-6,J para encontrar o trabalho:
Calculando a integral:
Então:

Resposta

O trabalho realizado é de joules.

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