Determine o trabalho realizado para carregar a carga
, carga pontual a partir do ponto
, para o ponto
, em um campo elétrico não uniforme
ao longo de:
(a) Uma linha reta do caminho mais curto,
(a) Uma linha reta do caminho mais curto,
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que precisamos usar.
Enunciado: Queremos calcular o trabalho realizado para mover uma carga pontual
do ponto
para o ponto
em um campo elétrico não uniforme dado por
. O movimento será feito ao longo de uma linha reta, ou seja, o caminho mais curto.
Conteúdo da matéria: Para resolver este problema, vamos utilizar o conceito de trabalho realizado por um campo elétrico, que é dado pela integral de linha
, onde
é o caminho seguido pela carga.
O que vamos precisar:
- Parametrizar o caminho reto de
a . - Expressar o campo elétrico
ao longo desse caminho. - Calcular o produto interno
. - Integrar ao longo do caminho e multiplicar pela carga
para encontrar o trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho reto de
a
. Podemos usar uma variável
, que varia de 0 a 1, para representar a posição ao longo do caminho.
A posição vetorial no caminho será:
Substituindo os pontos
e
:
Portanto, as componentes são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor diferencial
:
Então,
.
Passo 4
Em seguida, precisamos expressar o campo elétrico
ao longo do caminho parametrizado
. Substituindo
,
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o produto interno
:
Passo 6
Finalmente, integramos o produto interno de
a
e multiplicamos pela carga
para encontrar o trabalho:
Calculando a integral:
Então:
Resposta
O trabalho realizado é de
joules.