Determine o trabalho realizado sobre uma partícula em movimento semicircular de raio
em torno da origem, no plano
, por uma força que a atrai na direção do ponto
e proporcional à distância entre a partícula e o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular o trabalho realizado sobre uma partícula que está se movendo em um caminho semicircular de raio
em torno da origem no plano
. A força que está atuando na partícula puxa ela na direção do ponto
e essa força é proporcional à distância entre a partícula e esse ponto. Então, vamos precisar usar conceitos de trabalho de uma força e cálculo de integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos descrever o caminho que a partícula está seguindo. Como é um semicirculo de raio
em torno da origem no plano
, podemos parametrizar a posição da partícula usando um ângulo
:
Aqui,
varia de
a
para cobrir o semicirculo.
Passo 3
Agora, vamos entender a força que está agindo na partícula. A força é direcionada para o ponto
e é proporcional à distância entre a partícula e esse ponto. Vamos chamar o coeficiente de proporcionalidade de
. A distância entre a posição da partícula
e
é dada por:
Então, a magnitude da força é:
Passo 4
Precisamos expressar a força como um vetor. A direção da força é do ponto
para
. Vamos encontrar os componentes
e
da força:
Portanto, o vetor força fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor deslocamento diferencial
ao longo do caminho. Derivando as coordenadas
e
em relação a
:
Então, o vetor deslocamento diferencial é:
Passo 6
O trabalho realizado pela força é dado pela integral do produto escalar
ao longo do caminho. Vamos calcular esse produto escalar:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar a expressão para encontrar o trabalho total
:
Integrando:
Resposta
O trabalho realizado pela força é
.