Determine o trabalho realizado sobre uma partícula em movimento semicircular de raio a em torno da origem, no plano x y, por uma força que a atrai na direção do ponto (x= a, y=0) e proporcional à distância entre a partícula e o ponto (a, 0).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular o trabalho realizado sobre uma partícula que está se movendo em um caminho semicircular de raio em torno da origem no plano . A força que está atuando na partícula puxa ela na direção do ponto e essa força é proporcional à distância entre a partícula e esse ponto. Então, vamos precisar usar conceitos de trabalho de uma força e cálculo de integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos descrever o caminho que a partícula está seguindo. Como é um semicirculo de raio x = a cos theta em torno da origem no plano y = a sin theta , podemos parametrizar a posição da partícula usando um ângulo :
Aqui, varia de a para cobrir o semicirculo.

Passo 3

Agora, vamos entender a força que está agindo na partícula. A força é direcionada para o ponto d = raiz(x - a)^2 + y^2 e é proporcional à distância entre a partícula e esse ponto. Vamos chamar o coeficiente de proporcionalidade de F = k cdot d = k raiz(x - a)^2 + y^2 . A distância entre a posição da partícula e é dada por:
Então, a magnitude da força é:

Passo 4

Precisamos expressar a força como um vetor. A direção da força é do ponto Fx = k cdot (a - x)d cdot d = k(a - x) para Fy = k cdot (0 - y)d cdot d = -k y . Vamos encontrar os componentes F = (k(a - x))i + (-k y)j e da força:
Portanto, o vetor força fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor deslocamento diferencial dxdtheta = -a sin theta ao longo do caminho. Derivando as coordenadas dydtheta = a cos theta e ds = ( -a sin theta ) dtheta , i + ( a cos theta ) dtheta , j em relação a :
Então, o vetor deslocamento diferencial é:

Passo 6

O trabalho realizado pela força é dado pela integral do produto escalar F cdot ds = [k(a - x)] cdot [-a sin theta dtheta] + [-k y] cdot [a cos theta dtheta] ao longo do caminho. Vamos calcular esse produto escalar:
F cdot ds = k(a - a cos theta)(-a sin theta) dtheta + (-k a sin theta)(a cos theta) dtheta
Substituindo F cdot ds = -k a (1 - cos theta) a sin theta dtheta - k a^2 sin theta cos theta dtheta e F cdot ds = -k a^2 sin theta (1 - cos theta + cos theta) dtheta :
F cdot ds = -k a^2 sin theta dtheta
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar a expressão para encontrar o trabalho total W = integral0^pi -k a^2 sin theta dtheta :
W = -k a^2 [ -cos theta ]0^pi = -k a^2 ( -cos pi + cos 0 )
Integrando:
W = -k a^2 ( -(-1) + 1 ) = -k a^2 (1 + 1) = -2 k a^2

Resposta

O trabalho realizado pela força é .

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