Um objeto misterioso impulsionado por foguete, com massa de 45,0 kg, está inicialmente em repouso no meio da superfície horizontal e sem atrito de um lago coberto de gelo. Em seguida, é aplicada uma força no sentido leste e com módulo F(t)=(16,8 N / s) t. Que distância o objeto percorre nos primeiros 5,00 s depois que a força é aplicada?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um objeto de massa que está inicialmente parado em cima de um lago de gelo sem atrito. Uma força é aplicada nesse objeto no sentido leste, e a força varia com o tempo de acordo com a fórmula . Queremos descobrir qual a distância que o objeto percorre nos primeiros após a força ser aplicada.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Dinâmica, especificamente a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Também vamos precisar de conhecimentos de Cinemática, que trata do movimento dos objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz:
F = m cdot a
Onde:
  • a(t) = F(t)m é a força aplicada,
  • é a massa do objeto,
  • é a aceleração resultante.
Como queremos encontrar a aceleração , podemos rearranjar a fórmula:

Passo 3

Substituindo a(t) = 16,8 , N/s cdot t45,0 , kg = 16,845,0 , m/s^2 cdot t pela expressão dada:
16,845,0 = 0,373 , m/s^2/s
Vamos simplificar a fração:
a(t) = 0,373 , m/s^3 cdot t
Então,

Passo 4

Agora, sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar a velocidade v(t) = integral a(t) , dt = integral 0,373 , t , dt , precisamos integrar a aceleração:
v(t) = 0,373 cdot t^22 + C
Integrando:
v(t) = 0,373 cdot t^22 = 0,1865 , t^2 , m/s
Como o objeto parte do repouso, a velocidade inicial . Então, :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a distância percorrida s(t) = integral v(t) , dt = integral 0,1865 , t^2 , dt . A distância é a integral da velocidade:
s(t) = 0,1865 cdot t^33 + C
Integrando:
s(t) = 0,0622 , t^3 , m
Como o objeto parte do repouso no ponto inicial, a posição inicial . Então, :

Passo 6

Finalmente, queremos saber a distância percorrida nos primeiros s(5,00) = 0,0622 cdot (5,00)^3 = 0,0622 cdot 125 = 7,775 , m . Substituindo na expressão de :

Resposta

O objeto percorre aproximadamente nos primeiros após a aplicação da força.

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