Esboce a curva no espaço dada pela função vetorial
, para
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar a curva no espaço definida pela função vetorial
, onde
varia de
a
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e paramétrico para entender como essa curva se comporta e como podemos desenhá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial
. Ela é composta por três funções:
Cada uma dessas funções descreve como cada coordenada (x, y, z) varia com o parâmetro
. Vamos ver como cada uma se comporta no intervalo de
dado.
Passo 3
Vamos estudar o comportamento de cada componente no intervalo
:
-
Para
: - Quando
, - Quando
, - Quando
, - Observação:
aumenta exponencialmente conforme aumenta.
- Quando
-
Para
: - Quando
, - Quando
, - Quando
, - Observa��ão:
diminui exponencialmente conforme aumenta.
- Quando
-
Para
: - Linha reta simples: para cada aumento ou diminuição em
, aumenta ou diminui de forma linear.
- Linha reta simples: para cada aumento ou diminuição em
Passo 4
Agora, vamos tentar relacionar
e
para entender melhor a forma da curva no plano
:
Sabemos que:
Podemos multiplicar
e
:
Então, temos a relação:
Isso significa que, no plano
, a curva segue a hipérbole
.
Passo 5
Finalmente, vamos considerar a componente
. Isso nos diz que, conforme percorremos a hipérbole no plano
, a coordenada
aumenta ou diminui linearmente com
. Assim, a curva completa no espaço é uma hipérbole que se eleva ou desce no eixo
conforme avançamos no intervalo de
.
Resposta
A curva no espaço definida por
para
é uma hipérbole no plano
(
) que se desloca linearmente ao longo do eixo
. Ao esboçar, você verá uma curva que segue a forma de uma hipérbole e se move verticalmente conforme
aumenta de
a
.