Esboce a curva no espaço dada pela função vetorial r(t) = (e^t, e^-t, t), para t no intervalo [-1, 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar a curva no espaço definida pela função vetorial , onde t varia de -1 a 1. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e paramétrico para entender como essa curva se comporta e como podemos desenhá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial r(t). Ela é composta por três funções:
Cada uma dessas funções descreve como cada coordenada (x, y, z) varia com o parâmetro t. Vamos ver como cada uma se comporta no intervalo de t dado.

Passo 3

Vamos estudar o comportamento de cada componente no intervalo :
  • Para :
    • Quando ,
    • Quando ,
    • Quando ,
    • Observação: x(t) aumenta exponencialmente conforme t aumenta.
  • Para :
    • Quando ,
    • Quando ,
    • Quando ,
    • Observa��ão: y(t) diminui exponencialmente conforme t aumenta.
  • Para :
    • Linha reta simples: para cada aumento ou diminuição em t, z aumenta ou diminui de forma linear.

Passo 4

Agora, vamos tentar relacionar x e y para entender melhor a forma da curva no plano xy:
Sabemos que:
Podemos multiplicar x e y:
Então, temos a relação:
Isso significa que, no plano xy, a curva segue a hipérbole .

Passo 5

Finalmente, vamos considerar a componente . Isso nos diz que, conforme percorremos a hipérbole no plano xy, a coordenada z aumenta ou diminui linearmente com t. Assim, a curva completa no espaço é uma hipérbole que se eleva ou desce no eixo z conforme avançamos no intervalo de t.

Resposta

A curva no espaço definida por para é uma hipérbole no plano xy ( ) que se desloca linearmente ao longo do eixo z. Ao esboçar, você verá uma curva que segue a forma de uma hipérbole e se move verticalmente conforme z aumenta de -1 a 1.

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