Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma família de curvas definida pela equação , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar as trajetórias ortogonais a essa família de curvas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e condições de ortogonalidade entre curvas.
Passo 2
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos primeiro encontrar a inclinação das curvas da família original. Vamos derivar a equação em relação a .
Derivando ambos os lados:
Passo 3
Isolando para encontrar a inclinação da tangente às curvas originais:
Passo 4
As trajetórias ortogonais têm inclinações que são negativas recíprocas das inclinações das curvas originais. Portanto, a inclinação das trajetórias ortogonais será:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Essa é uma equação diferencial separável, ou seja, podemos separar as variáveis e .
Passo 6
Separando as variáveis:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 9
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde é uma nova constante.
Passo 10
Isolando para obter a equação das trajetórias ortogonais:
Resposta
As trajetórias ortogonais à família de curvas são dadas por: