Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas x^2 - y^2 = c * x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma família de curvas definida pela equação , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar as trajetórias ortogonais a essa família de curvas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e condições de ortogonalidade entre curvas.

Passo 2

Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos primeiro encontrar a inclinação das curvas da família original. Vamos derivar a equação em relação a .
Derivando ambos os lados:

Passo 3

Isolando para encontrar a inclinação da tangente às curvas originais:

Passo 4

As trajetórias ortogonais têm inclinações que são negativas recíprocas das inclinações das curvas originais. Portanto, a inclinação das trajetórias ortogonais será:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Essa é uma equação diferencial separável, ou seja, podemos separar as variáveis e .

Passo 6

Separando as variáveis:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:

Passo 9

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde é uma nova constante.

Passo 10

Isolando para obter a equação das trajetórias ortogonais:

Resposta

As trajetórias ortogonais à família de curvas são dadas por:

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