A equação diferencial
é uma equação de Riccati.
Mostre que, se
é uma solução da equação de Riccati, a transformação
reduz a equação de Riccati a uma equação linear em
.
é uma equação de Riccati.
Mostre que, se
reduz a equação de Riccati a uma equação linear em
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente está trabalhando com uma equação diferencial chamada de Equação de Riccati, que tem a forma
O objetivo é mostrar que, se já conhecemos uma solução
dessa equação, conseguimos usar uma transformação
para simplificar a equação original e transformá-la em uma equação linear em termos de
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e entender como fazer substituições em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação proposta. Substituímos
por
:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Sabemos que
é uma solução da equação de Riccati original, então ela satisfaz:
Vamos substituir
nessa expressão:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação de Riccati original:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Podemos simplificar cancelando termos iguais de ambos os lados:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Reorganizando os termos:
Passo 7
Agora temos uma equação linear em
:
Onde:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o fator integrante.
Resposta
Mostramos que, ao aplicar a transformação
na equação de Riccati dada, a equação original se reduz a uma equação linear em
: