A equação diferencial
d y/d x = A(x) y^2 + B(x) y + C(x)
é uma equação de Riccati.
Mostre que, se y1 é uma solução da equação de Riccati, a transformação
y = y1 + 1/v
reduz a equação de Riccati a uma equação linear em v.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente está trabalhando com uma equação diferencial chamada de Equação de Riccati, que tem a forma
O objetivo é mostrar que, se já conhecemos uma solução dessa equação, conseguimos usar uma transformação para simplificar a equação original e transformá-la em uma equação linear em termos de . Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e entender como fazer substituições em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação proposta. Substituímos por :
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 3

Sabemos que é uma solução da equação de Riccati original, então ela satisfaz:
Vamos substituir nessa expressão:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação de Riccati original:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:

Passo 5

Igualando as duas expressões para :
Podemos simplificar cancelando termos iguais de ambos os lados:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Reorganizando os termos:

Passo 7

Agora temos uma equação linear em :
Onde:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o fator integrante.

Resposta

Mostramos que, ao aplicar a transformação na equação de Riccati dada, a equação original se reduz a uma equação linear em :

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