Resolver as seguintes equações de Bernoulli: 3 y' + y = (1 - 2 x) y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é assim: . Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais, especificamente a técnica para resolver equações de Bernoulli. Vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma mais simples para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli é:
No nosso caso, vamos dividir toda a equação por 3 para facilitar:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. A substituição padrão para equações de Bernoulli é:
No nosso caso, , então:
Vamos derivar em relação a :
Isso nos ajuda a expressar em termos de e .

Passo 4

Substituindo na equação original:
Agora, substituímos e na equação de Bernoulli:
Como , temos . Substituindo isso na equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Agora, temos uma equação linear em :

Passo 5

Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. A equação é:
O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Integrando os dois lados em relação a :
Para resolver essa integral, usamos integração por partes.

Passo 6

Resolvendo a integral por partes:
Então:
Multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , temos:
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é a constante de integração.

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