Resolver as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é assim:
. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais, especificamente a técnica para resolver equações de Bernoulli. Vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma mais simples para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli é:
No nosso caso, vamos dividir toda a equação por 3 para facilitar:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. A substituição padrão para equações de Bernoulli é:
No nosso caso,
, então:
Vamos derivar
em relação a
:
Isso nos ajuda a expressar
em termos de
e
.
Passo 4
Substituindo
na equação original:
Agora, substituímos
e
na equação de Bernoulli:
Como
, temos
. Substituindo isso na equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Agora, temos uma equação linear em
:
Passo 5
Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. A equação é:
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando os dois lados em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes.
Passo 6
Resolvendo a integral por partes:
Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
, temos:
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é a constante de integração.