A equação diferencial
é uma equação de Riccati.
Resolva, usando o item (b), a equação
sendo dada a solução
.
é uma equação de Riccati.
Resolva, usando o item (b), a equação
sendo dada a solução
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma equação diferencial de Riccati, que tem a forma geral:
No caso específico, temos:
Além disso, já nos deram uma solução particular dessa equação:
. Nosso objetivo é resolver a equação utilizando essa solução conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de Riccati. É uma equação não linear de primeira ordem e tem a forma que vimos acima. A grande sacada aqui é que se já conhecemos uma solução particular
, podemos simplificar a equação e transformar a Riccati em uma equação diferencial linear, que é mais fácil de resolver.
Passo 3
A estratégia é fazer uma substituição baseada na solução particular conhecida. Vamos definir:
Substituindo
, temos:
Agora, precisamos encontrar
em termos de
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação. Após expandir e reunir termos, chegamos a uma equação linear para
:
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis e integrar:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante de integração.