A equação diferencial
d y/d x = A(x) y^2 + B(x) y + C(x)
é uma equação de Riccati.
Resolva, usando o item (b), a equação
d y/d x = (1-x) y^2 + (2 x - 1) y - x
sendo dada a solução y1(x) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma equação diferencial de Riccati, que tem a forma geral:
No caso específico, temos:
Além disso, já nos deram uma solução particular dessa equação: . Nosso objetivo é resolver a equação utilizando essa solução conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de Riccati. É uma equação não linear de primeira ordem e tem a forma que vimos acima. A grande sacada aqui é que se já conhecemos uma solução particular , podemos simplificar a equação e transformar a Riccati em uma equação diferencial linear, que é mais fácil de resolver.

Passo 3

A estratégia é fazer uma substituição baseada na solução particular conhecida. Vamos definir:
Substituindo , temos:
Agora, precisamos encontrar em termos de .

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, substituímos e na equação original:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação. Após expandir e reunir termos, chegamos a uma equação linear para :
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis e integrar:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é uma constante de integração.

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