A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja
a temperatura do corpo e
a temperatura do meio ambiente. Então temos
.
Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de
. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é
e após 40 minutos é
, determine a temperatura inicial do corpo.
Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com um problema de física sobre taxa de variação de temperatura, utilizando o modelo de resfriamento de Newton. Precisamos determinar qual era a temperatura inicial de um corpo que foi colocado em um refrigerador a
, dado que após 20 minutos a temperatura do corpo era
e após 40 minutos caiu para
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação diferencial fornecida:
Essa equação descreve como a temperatura
do corpo varia ao longo do tempo
. Aqui,
é uma constante de proporcionalidade e
é a temperatura do meio ambiente, que no caso do refrigerador é
.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
Isso mostra que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. Esse tipo de equação diferencial é linear e pode ser resolvida usando fatores integrantes.
Passo 4
A solução geral da equaç��o diferencial é:
Onde:
-
é a temperatura inicial do corpo. -
é a temperatura do corpo no tempo . -
é a base dos logaritmos naturais.
Passo 5
Sabemos que
. Substituindo na equação:
Passo 6
Vamos usar os dados fornecidos para encontrar
. Temos duas condições:
Substituindo na equação:
Passo 7
Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 8
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a primeira condição:
Portanto:
Resposta
A temperatura inicial do corpo era
.