A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente. Então temos
dT/dt + kT = kTm.
Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de 0 graus C. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40 graus C e após 40 minutos é 20 graus Celsius, determine a temperatura inicial do corpo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com um problema de física sobre taxa de variação de temperatura, utilizando o modelo de resfriamento de Newton. Precisamos determinar qual era a temperatura inicial de um corpo que foi colocado em um refrigerador a , dado que após 20 minutos a temperatura do corpo era e após 40 minutos caiu para .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial fornecida:
Essa equação descreve como a temperatura do corpo varia ao longo do tempo . Aqui, é uma constante de proporcionalidade e é a temperatura do meio ambiente, que no caso do refrigerador é .

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
Isso mostra que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. Esse tipo de equação diferencial é linear e pode ser resolvida usando fatores integrantes.

Passo 4

A solução geral da equaç��o diferencial é:
Onde:
  • é a temperatura inicial do corpo.
  • é a temperatura do corpo no tempo .
  • é a base dos logaritmos naturais.

Passo 5

Sabemos que . Substituindo na equação:

Passo 6

Vamos usar os dados fornecidos para encontrar . Temos duas condições:
Substituindo na equação:

Passo 7

Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 8

Agora que temos , podemos encontrar usando a primeira condição:
Portanto:

Resposta

A temperatura inicial do corpo era .

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