Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis ou encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação:
Isso nos mostra que a equação pode ser manipulada para achar uma forma exata ou encontrar um fator integrante.
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, reescrevemos a equação na forma:
Onde:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de
. Calculamos:
Integrando isso em relação a
:
Substituindo
, obtemos:
Passo 5
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação se torna exata.
Passo 6
Vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 7
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Isso implica que
, então
, onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Ou, rearranjando:
Onde
é uma constante arbitrária.
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: