Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis ou encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação:
Isso nos mostra que a equação pode ser manipulada para achar uma forma exata ou encontrar um fator integrante.

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, reescrevemos a equação na forma:
Onde:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de . Calculamos:
Integrando isso em relação a :
Substituindo , obtemos:

Passo 5

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação se torna exata.

Passo 6

Vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 7

Derivando em relação a e igualando a :
Isso implica que , então , onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Ou, rearranjando:
Onde é uma constante arbitrária.

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