Encontre as soluções das equações abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve derivadas e logaritmos naturais. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e para resolvê-la, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação e facilita a integração.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação dada:
Podemos isolar a derivada:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Para simplificar, fazemos uma substituição. Vamos definir
. Assim,
e a derivada
pode ser expressa como:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 6
Integramos ambos os lados:
Para a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição
, então
:
Do lado direito:
Passo 7
Igualando as integrais:
Podemos simplificar removendo os valores absolutos e resolvendo para
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 9
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante arbitrária.
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