Encontre as soluções das equações abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve derivadas e logaritmos naturais. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e para resolvê-la, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação e facilita a integração.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação dada:
Podemos isolar a derivada:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Para simplificar, fazemos uma substituição. Vamos definir . Assim, e a derivada pode ser expressa como:

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 6

Integramos ambos os lados:
Para a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição , então :
Do lado direito:

Passo 7

Igualando as integrais:
Podemos simplificar removendo os valores absolutos e resolvendo para :
Onde é uma constante de integração.

Passo 8

Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 9

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante arbitrária.

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