Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo :

Passo 1

Beleza, então temos que determinar as trajetórias ortogonais à família de retas dada por , onde é um número real. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e ortogonalidade de curvas. Vamos precisar entender como encontrar a equação diferencial da família original e então determinar a equação das trajetórias ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação diferencial da família . Como é uma constante, podemos derivar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos que as curvas resultantes se encontrem perpendicularmente às retas da família original. Para isso, a derivada da trajetória ortogonal deve ser o negativo do inverso da derivada da família original. Ou seja:

Passo 4

Temos agora a equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Vamos resolver essa equação para encontrar a forma geral das trajetórias ortogonais. Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Resposta

As trajetórias ortogonais à família são dadas por:

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Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo :
Verifique se as equações abaixo são exatas e, em caso positivo, resolva-as.