Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo
:
Passo 1
Beleza, então temos que determinar as trajetórias ortogonais à família de retas dada por
, onde
é um número real. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e ortogonalidade de curvas. Vamos precisar entender como encontrar a equação diferencial da família original e então determinar a equação das trajetórias ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação diferencial da família
. Como
é uma constante, podemos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 3
Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos que as curvas resultantes se encontrem perpendicularmente às retas da família original. Para isso, a derivada da trajetória ortogonal deve ser o negativo do inverso da derivada da família original. Ou seja:
Passo 4
Temos agora a equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Vamos resolver essa equação para encontrar a forma geral das trajetórias ortogonais. Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
As trajetórias ortogonais à família
são dadas por: