Verifique se as equações abaixo são exatas e, em caso positivo, resolva-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para verificar se a equação diferencial
é exata. Se for, a gente também vai resolver essa equação. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como verificar isso usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
correspondem às funções
e
, respectivamente.
Passo 3
Para checar se a equação é exata, a gente vai comparar as derivadas cruzadas:
Isso porque, se
, então a equação é exata.
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Agora, vamos usar a segunda condição:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando com
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
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