Verifique se as equações abaixo são exatas e, em caso positivo, resolva-as.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para verificar se a equação diferencial é exata. Se for, a gente também vai resolver essa equação. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como verificar isso usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma é exata se existir uma função tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e correspondem às funções e , respectivamente.

Passo 3

Para checar se a equação é exata, a gente vai comparar as derivadas cruzadas:
Isso porque, se , então a equação é exata.
Vamos identificar e na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .
Agora, vamos usar a segunda condição:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando com :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo :
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Encontre um fator de integração apropriado e resolva as E.D.O. abaixo:
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