Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é homogênea. Homogênea é um conceito da matemática que ajuda a entender como a função se comporta quando a gente escala suas variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser homogênea e como determinar o grau dela, caso seja homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea. Uma função
é dita homogênea de grau
se, ao multiplicar todas as variáveis por um fator
, a função inteira é multiplicada por
. Em outras palavras:
Vamos usar isso para verificar se
é homogênea.
Passo 3
Vamos substituir
por
e
por
na função:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos ver se isso é igual a
. Primeiro, escrevemos
:
Comparando com a expressão de
:
Para que a função seja homogênea, os dois lados devem ser iguais para todo
.
Passo 5
Observamos que há termos como
e
que não se encaixam na forma
. Especificamente,
e
não podem ser expressos como
para um único grau
.
Passo 6
Como não conseguimos encontrar um grau
que satisfaça a igualdade para todos os termos, concluímos que a função
não é homogênea.
Resposta
A função
não é homogênea.
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