Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é homogênea. Homogênea é um conceito da matemática que ajuda a entender como a função se comporta quando a gente escala suas variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser homogênea e como determinar o grau dela, caso seja homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea. Uma função é dita homogênea de grau se, ao multiplicar todas as variáveis por um fator , a função inteira é multiplicada por . Em outras palavras:
Vamos usar isso para verificar se é homogênea.

Passo 3

Vamos substituir por e por na função:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos ver se isso é igual a . Primeiro, escrevemos :
Comparando com a expressão de :
Para que a função seja homogênea, os dois lados devem ser iguais para todo .

Passo 5

Observamos que há termos como e que não se encaixam na forma . Especificamente, e não podem ser expressos como para um único grau .

Passo 6

Como não conseguimos encontrar um grau que satisfaça a igualdade para todos os termos, concluímos que a função não é homogênea.

Resposta

A função não é homogênea.

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