Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve separação de variáveis. A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária que podemos resolver separando as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Subtraindo de ambos os lados, temos:
Agora, dividimos ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 3

Vamos separar as variáveis e . Multiplicando ambos os lados por e multiplicando por , obtemos:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Unindo as constantes e em uma única constante , temos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação para resolver . Multiplicando ambos os lados por -1:
Isolando :
Tirando a raiz quadrada:
Como a condição inicial é , vamos usar isso para encontrar a constante .

Passo 6

Aplicando a condição inicial :
Sabemos que , então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resolvendo para :

Resposta

Substituindo o valor de na expressão para :
Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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