Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve separação de variáveis. A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária que podemos resolver separando as variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Agora, dividimos ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 3
Vamos separar as variáveis
e
. Multiplicando ambos os lados por
e multiplicando por
, obtemos:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Unindo as constantes
e
em uma única constante
, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação para resolver
. Multiplicando ambos os lados por -1:
Isolando
:
Tirando a raiz quadrada:
Como a condição inicial é
, vamos usar isso para encontrar a constante
.
Passo 6
Aplicando a condição inicial
:
Sabemos que
, então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resolvendo para
:
Resposta
Substituindo o valor de
na expressão para
:
Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Encontre a E.D.O. correspondente à: família de circunferências com centros sobre Ox e passando pelo ponto
Encontre a E.D.O. correspondente à: família de retas com inclinação dada
.
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo
: