Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício: Determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por
, onde
. O conteúdo que vamos usar aqui é de trajetórias ortogonais em cálculo diferencial. Basicamente, precisamos encontrar uma nova família de curvas que seja perpendicular a todas as curvas da família original
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e usar o conceito de que duas curvas são ortogonais se o produto de suas derivadas no ponto de interseção for -1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas que temos:
. Aqui,
é um parâmetro real que muda o formato da curva. Nosso objetivo é encontrar outra família de curvas que corta todas essas curvas de forma perpendicular.
Passo 3
Para achar as trajetórias ortogonais, vamos começar calculando a derivada
da família original. Diferenciando ambos os lados de
em relação a
, temos:
Então, isolando
:
Passo 4
Agora, como queremos as curvas que são ortogonais às originais, a derivada das trajetórias ortogonais será o negativo do inverso da derivada que acabamos de encontrar. Portanto:
Passo 5
Perceba que ainda temos o parâmetro
na equação. Precisamos eliminar
para obter uma equação diferencial que descreva apenas as trajetórias ortogonais. Da equação original
, podemos isolar
:
Passo 6
Substituindo
na equação da derivada ortogonal:
Passo 7
Agora temos a equação diferencial que descreve as trajetórias ortogonais:
Vamos resolver essa equação. Reorganizando os termos para separar as variáveis:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Simplificando:
Passo 9
Podemos reescrever a equação acima para deixar mais agradável:
Essa é a equação geral das trajetórias ortogonais.
Resposta
As trajetórias ortogonais à família
são dadas por:
onde
é uma constante real.
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:
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
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Encontre um fator de integração apropriado e resolva as E.D.O. abaixo: