Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício: Determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por , onde . O conteúdo que vamos usar aqui é de trajetórias ortogonais em cálculo diferencial. Basicamente, precisamos encontrar uma nova família de curvas que seja perpendicular a todas as curvas da família original . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e usar o conceito de que duas curvas são ortogonais se o produto de suas derivadas no ponto de interseção for -1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas que temos: . Aqui, é um parâmetro real que muda o formato da curva. Nosso objetivo é encontrar outra família de curvas que corta todas essas curvas de forma perpendicular.

Passo 3

Para achar as trajetórias ortogonais, vamos começar calculando a derivada da família original. Diferenciando ambos os lados de em relação a , temos:
Então, isolando :

Passo 4

Agora, como queremos as curvas que são ortogonais às originais, a derivada das trajetórias ortogonais será o negativo do inverso da derivada que acabamos de encontrar. Portanto:

Passo 5

Perceba que ainda temos o parâmetro na equação. Precisamos eliminar para obter uma equação diferencial que descreva apenas as trajetórias ortogonais. Da equação original , podemos isolar :

Passo 6

Substituindo na equação da derivada ortogonal:

Passo 7

Agora temos a equação diferencial que descreve as trajetórias ortogonais:
Vamos resolver essa equação. Reorganizando os termos para separar as variáveis:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Simplificando:

Passo 9

Podemos reescrever a equação acima para deixar mais agradável:
Essa é a equação geral das trajetórias ortogonais.

Resposta

As trajetórias ortogonais à família são dadas por:
onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo :
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
Verifique se as equações abaixo são exatas e, em caso positivo, resolva-as.
Encontre um fator de integração apropriado e resolva as E.D.O. abaixo: