Encontre um fator de integração apropriado e resolva as E.D.O. abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por:
Precisamos encontrar um fator de integração que torne essa equação exata, ou seja, que facilite a resolução. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e fatores de integração.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se:
Aqui, e . Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um fator de integração que torne a equação exata. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de ou apenas de . Vamos supor que o fator depende apenas de , ou seja, .

Passo 4

Multiplicamos a equação original por :
Agora, para que a equação seja exata, deve valer:
Calculando as derivadas:
Simplificando:

Passo 5

Resolvemos a equação diferencial para :
Dividindo ambos os lados por :
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Podemos escolher sem perda de generalidade:

Passo 6

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator de integração :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 7

Para resolver a equação exata, encontramos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Igualando à parte de da equação:
Assim:
Integrando:
Então, a função é:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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Verifique se as equações abaixo são exatas e, em caso positivo, resolva-as.
Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo :
Indique a ordem das E.D.O. abaixo e verifique se as funções indicadas são soluções:
Encontre a E.D.O. correspondente à: família