Encontre um fator de integração apropriado e resolva as E.D.O. abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por:
Precisamos encontrar um fator de integração que torne essa equação exata, ou seja, que facilite a resolução. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e fatores de integração.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um fator de integração
que torne a equação exata. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que o fator depende apenas de
, ou seja,
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora, para que a equação seja exata, deve valer:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 5
Resolvemos a equação diferencial para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Podemos escolher
sem perda de generalidade:
Passo 6
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator de integração
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 7
Para resolver a equação exata, encontramos uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Igualando à parte de
da equação:
Assim:
Integrando:
Então, a função
é:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Verifique se as equações abaixo são exatas e, em caso positivo, resolva-as.
Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo
:
Indique a ordem das E.D.O. abaixo e verifique se as funções indicadas são soluções:
Encontre a E.D.O. correspondente à: família