Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as soluções da equação diferencial
com a condição inicial
. Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
de cada lado da equação e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos isolar
em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para separar
e
:
Simplificando a fração:
Passo 4
Para separar as variáveis, precisamos que todos os termos de
fiquem de um lado e os de
do outro. Vamos rearranjar a equação:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo em relação a
:
E o lado direito em relação a
:
Passo 6
Calculando a integral do lado esquerdo:
Mas vamos simplificar sem a constante agora.
Passo 7
Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição. Seja
, então
. A integral fica:
Passo 8
Agora, igualamos as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
é uma constante geral.
Passo 9
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
. Substituindo na equação:
Passo 10
Substituindo
na equação geral:
Podemos simplificar rearranjando os termos:
Passo 11
Para deixar a solução mais elegante, podemos escrever:
Ou, exponenciando ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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