Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as soluções da equação diferencial com a condição inicial . Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis e de cada lado da equação e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos isolar em termos de :

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados por para separar e :
Simplificando a fração:

Passo 4

Para separar as variáveis, precisamos que todos os termos de fiquem de um lado e os de do outro. Vamos rearranjar a equação:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo em relação a :
E o lado direito em relação a :

Passo 6

Calculando a integral do lado esquerdo:
Mas vamos simplificar sem a constante agora.

Passo 7

Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição. Seja , então . A integral fica:

Passo 8

Agora, igualamos as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde é uma constante geral.

Passo 9

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial . Substituindo na equação:

Passo 10

Substituindo na equação geral:
Podemos simplificar rearranjando os termos:

Passo 11

Para deixar a solução mais elegante, podemos escrever:
Ou, exponenciando ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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