Determine se é transformação linear. T: P^2(x) P3(x), T(p(x))=x^3+p(x)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Precisamos verificar se a transformação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares entre espaços de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T(p(x) + q(x)) = T(p(x)) + T(q(x)) entre dois espaços vetoriais é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais para quaisquer polinômios T(c cdot p(x)) = c cdot T(p(x)) e em e para qualquer escalar :
  1. Preservação da adição:
  1. Preservação da multiplicação por escalar:
Vamos verificar se essas duas propriedades são atendidas pela transformação dada.

Passo 3

Verificando a preservação da adição:
Vamos calcular T(p(x) + q(x)) = x^3 + (p(x) + q(x)) = x^3 + p(x) + q(x) e T(p(x)) + T(q(x)) = (x^3 + p(x)) + (x^3 + q(x)) = 2x^3 + p(x) + q(x) separadamente.
  • Calculando T(p(x) + q(x)) = x^3 + p(x) + q(x) neq 2x^3 + p(x) + q(x) = T(p(x)) + T(q(x)) :
  • Calculando :
Comparando os dois resultados:
Isso mostra que a transformação não preserva a adição.

Passo 4

Verificando a preservação da multiplicação por escalar:
Mesmo já tendo identificado que T(c cdot p(x)) = x^3 + c cdot p(x) não preserva a adição, vamos verificar a segunda propriedade para completar a análise.
Vamos calcular c cdot T(p(x)) = c cdot (x^3 + p(x)) = c cdot x^3 + c cdot p(x) e T(c cdot p(x)) = x^3 + c cdot p(x) neq c cdot x^3 + c cdot p(x) = c cdot T(p(x)) :
  • Calculando :
  • Calculando :
Comparando os dois resultados:
Aqui, vemos que a transformação também não preserva a multiplicação por escalar, a menos que , o que não é geral.

Resposta

Como a transformação não preserva nem a adição nem a multiplicação por escalar, não é uma transformação linear.

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