Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Precisamos verificar se a transformação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares entre espaços de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais para quaisquer polinômios e em e para qualquer escalar :
Preservação da adição:
Preservação da multiplicação por escalar:
Vamos verificar se essas duas propriedades são atendidas pela transformação dada.
Passo 3
Verificando a preservação da adição:
Vamos calcular e separadamente.
Calculando :
Calculando :
Comparando os dois resultados:
Isso mostra que a transformação não preserva a adição.
Passo 4
Verificando a preservação da multiplicação por escalar:
Mesmo já tendo identificado que não preserva a adição, vamos verificar a segunda propriedade para completar a análise.
Vamos calcular e :
Calculando :
Calculando :
Comparando os dois resultados:
Aqui, vemos que a transformação também não preserva a multiplicação por escalar, a menos que , o que não é geral.
Resposta
Como a transformação não preserva nem a adição nem a multiplicação por escalar, não é uma transformação linear.