Determine se é transformação linear.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Precisamos verificar se a transformação
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares entre espaços de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais para quaisquer polinômios
e
em
e para qualquer escalar
:
- Preservação da adição:
- Preservação da multiplicação por escalar:
Vamos verificar se essas duas propriedades são atendidas pela transformação
dada.
Passo 3
Verificando a preservação da adição:
Vamos calcular
e
separadamente.
- Calculando
:
- Calculando
:
Comparando os dois resultados:
Isso mostra que a transformação
não preserva a adição.
Passo 4
Verificando a preservação da multiplicação por escalar:
Mesmo já tendo identificado que
não preserva a adição, vamos verificar a segunda propriedade para completar a análise.
Vamos calcular
e
:
- Calculando
:
- Calculando
:
Comparando os dois resultados:
Aqui, vemos que a transformação
também não preserva a multiplicação por escalar, a menos que
, o que não é geral.
Resposta
Como a transformação
não preserva nem a adição nem a multiplicação por escalar, não é uma transformação linear.