Determine se é transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta se a função , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades principais:
  1. Adição de vetores: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a adição de vetores:
Sejam dois vetores quaisquer em : e .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Observamos que . Então, a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Seja um vetor em e um escalar .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Novamente, vemos que . Assim, a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz as duas propriedades de linearidade (adição de vetores e multiplicação por escalar), concluímos que , é uma transformação linear.

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