Determine se é transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta se a função
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades principais:
- Adição de vetores:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a adição de vetores:
Sejam dois vetores quaisquer em
:
e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Observamos que
. Então, a primeira propriedade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Seja um vetor
em
e um escalar
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Novamente, vemos que
. Assim, a segunda propriedade também é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz as duas propriedades de linearidade (adição de vetores e multiplicação por escalar), concluímos que
,
é uma transformação linear.
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