Determine se é transformação linear. T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(z, x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta se a função , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades principais:
  1. Adição de vetores: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a adição de vetores:
Sejam dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) : T(u + v) = (z1 + z2, (x1 + x2) + (y1 + y2)) = (z1 + z2, x1 + x2 + y1 + y2) e T(u) = (z1, x1 + y1) .
Primeiro, calculamos T(v) = (z2, x2 + y2) :
T(u) + T(v) = (z1 + z2, (x1 + y1) + (x2 + y2)) = (z1 + z2, x1 + x2 + y1 + y2)
Agora, calculamos :
Observamos que . Então, a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Seja um vetor cu = (cx, cy, cz) em T(cu) = (cz, cx + cy) = (c z, c(x + y)) e um escalar T(u) = (z, x + y) .
Primeiro, calculamos cT(u) = (c z, c(x + y)) = (c z, c(x + y)) :
Agora, calculamos :
Novamente, vemos que . Assim, a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz as duas propriedades de linearidade (adição de vetores e multiplicação por escalar), concluímos que , é uma transformação linear.

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