Sejam
a base canônica de
e
a base dada por
e
. Se
, então:
Encontre a matriz de transição
.
Encontre a matriz de transição
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar a matriz de transição da transformação linear
de uma base
para a base canônica
em
. Basicamente, vamos ver como representar a transformação
quando mudamos de uma base personalizada
para a base padrão
. Para isso, vamos precisar saber:
- O que são bases e como elas funcionam.
- Como aplicar a transformação linear
aos vetores da base . - Como construir a matriz de transição usando os resultados das aplicações de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a base canônica
em
é composta pelos vetores
e
. Já a base
é dada por
e
.
Nossa meta é encontrar a matriz
que representa a transformação
de
para
de coordenadas na base
para coordenadas na base
.
Passo 3
A transformação linear
está definida por:
Vamos aplicar
aos vetores da base
para ver onde eles vão na base canônica
.
Primeiro, aplique
a
:
Agora, aplique
a
:
Passo 4
Agora que temos as imagens dos vetores da base
na base canônica
, podemos construir a matriz de transição
. Essa matriz tem como colunas as coordenadas dos vetores transformados
e
na base
.
Então, organizamos assim:
Resposta
A matriz de transição
é:
Exercícios relacionados
Sejam
dada por
dada por
dada por
e
dada por
. Determine, se possível:
Seja
a transformação linear definida por:
Encontre uma base e a dimensão da imagem de
.
Determine se a transformação linear dada é ou não injetora, se não for encontre um vetor
não nulo cuja imagem seja zero.
Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando
e antissimétrica quando
. Quais das matrizes abaixo são simétricas? iii.