Sejam S a base canônica de R^2 e B=v1, v2 a base dada por v1= (2,1) e v2=(-3,4). Se T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+y,-x+y), então:
Encontre a matriz de transição [T]B^S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar a matriz de transição da transformação linear de uma base para a base canônica em . Basicamente, vamos ver como representar a transformação quando mudamos de uma base personalizada para a base padrão . Para isso, vamos precisar saber:
  • O que são bases e como elas funcionam.
  • Como aplicar a transformação linear aos vetores da base .
  • Como construir a matriz de transição usando os resultados das aplicações de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a base canônica em é composta pelos vetores e . Já a base é dada por e .
Nossa meta é encontrar a matriz que representa a transformação de para de coordenadas na base para coordenadas na base .

Passo 3

A transformação linear T(x, y) = (2x + y, -x + y) está definida por:
T(2, 1) = (2*2 + 1, -2 + 1) = (5, -1)
Vamos aplicar T(-3, 4) = (2*(-3) + 4, -(-3) + 4) = (-6 + 4, 3 + 4) = (-2, 7) aos vetores da base para ver onde eles vão na base canônica .
Primeiro, aplique a :
Agora, aplique a :

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores da base [T]B^S = T(v1) & T(v2) = 5 & -2 -1 & 7 na base canônica , podemos construir a matriz de transição . Essa matriz tem como colunas as coordenadas dos vetores transformados e na base .
Então, organizamos assim:

Resposta

A matriz de transição [T]B^S = 5 & -2 -1 & 7 é:

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