Se é dada por ,
Ache , onde é a base canônica do .
Passo 1
Vamos resolver juntos! A questão nos pede para encontrar a matriz de transformação linear de para , usando as bases dadas e . Aqui, é o espaço das matrizes , e é a base canônica de . Para isso, precisamos entender como a transformação age nas matrizes da base e expressar essas ações na base .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a base de . Ela é composta pelas seguintes matrizes:
Cada uma dessas matrizes tem um único elemento igual a 1 e os demais iguais a 0.
Passo 3
A transformação é definida por:
Isso significa que para qualquer matriz , soma os elementos da diagonal principal para formar a primeira componente do vetor resultante e soma os elementos fora da diagonal para a segunda componente.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar a matriz de em relação às bases e , denotada por . Para isso, aplicamos a cada vetor da base e expressamos os resultados na base .
Passo 5
Vamos aplicar a cada uma das matrizes da base :
Para a primeira matriz:
Para a segunda matriz:
Para a terceira matriz:
Para a quarta matriz:
Passo 6
Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz . Cada resultado corresponde a uma coluna da matriz, respeitando a ordem dos vetores na base :