Seja V o espaço vetorial de matrizes , com base:
Se é dada por ,
Ache , onde é a base canônica do .

Passo 1

Vamos resolver juntos! A questão nos pede para encontrar a matriz de transformação linear de para , usando as bases dadas e . Aqui, é o espaço das matrizes , e é a base canônica de . Para isso, precisamos entender como a transformação age nas matrizes da base e expressar essas ações na base .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a base de . Ela é composta pelas seguintes matrizes:
Cada uma dessas matrizes tem um único elemento igual a 1 e os demais iguais a 0.

Passo 3

A transformação é definida por:
Isso significa que para qualquer matriz , soma os elementos da diagonal principal para formar a primeira componente do vetor resultante e soma os elementos fora da diagonal para a segunda componente.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a matriz de em relação às bases e , denotada por . Para isso, aplicamos a cada vetor da base e expressamos os resultados na base .

Passo 5

Vamos aplicar a cada uma das matrizes da base :
  1. Para a primeira matriz:
  1. Para a segunda matriz:
  1. Para a terceira matriz:
  1. Para a quarta matriz:

Passo 6

Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz . Cada resultado corresponde a uma coluna da matriz, respeitando a ordem dos vetores na base :

Resposta

A matriz de transformação é:

Exercícios relacionados

Determine uma transformação linear que satisfaça simultaneamente as seguintes consições:
  • O elemento
  • O elemento
  • O elemento
    Dica: Lembre que se você souber como a transformação funciona na base, você descobre como ela funciona no espaço todo.
Seja V o espaço vetorial de matrizes , com base:
Se é dada por ,
Se e . Ache e, se for possível, , tal que
Seja,
Encontre (Estamos nos espaços e ). Determine bases para esses espaços.
Seja o vetor diretor da reta e , determine a equação vetorial da reta .