Seja V o espaço vetorial de matrizes
, com base:
Se
é dada por
,
Ache
, onde
é a base canônica do
.
Ache
Passo 1
Vamos resolver juntos! A questão nos pede para encontrar a matriz de transformação linear
de
para
, usando as bases dadas
e
. Aqui,
é o espaço das matrizes
, e
é a base canônica de
. Para isso, precisamos entender como a transformação
age nas matrizes da base
e expressar essas ações na base
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a base
de
. Ela é composta pelas seguintes matrizes:
Cada uma dessas matrizes tem um único elemento igual a 1 e os demais iguais a 0.
Passo 3
A transformação
é definida por:
Isso significa que para qualquer matriz
,
soma os elementos da diagonal principal para formar a primeira componente do vetor resultante e soma os elementos fora da diagonal para a segunda componente.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar a matriz de
em relação às bases
e
, denotada por
. Para isso, aplicamos
a cada vetor da base
e expressamos os resultados na base
.
Passo 5
Vamos aplicar
a cada uma das matrizes da base
:
- Para a primeira matriz:
- Para a segunda matriz:
- Para a terceira matriz:
- Para a quarta matriz:
Passo 6
Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz
. Cada resultado corresponde a uma coluna da matriz, respeitando a ordem dos vetores na base
:
Resposta
A matriz de transformação
é: