Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 times 2, com base:
beta=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 0 ],[ll 0 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
Se T: V R^2 é dada por T([lla & b c & d])=(a+d, b+c),
Ache [T]alpha^beta, onde alpha é a base canônica do R^2.

Passo 1

Vamos resolver juntos! A questão nos pede para encontrar a matriz de transformação linear de para , usando as bases dadas e . Aqui, é o espaço das matrizes , e é a base canônica de . Para isso, precisamos entender como a transformação age nas matrizes da base e expressar essas ações na base .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a base beta = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 de . Ela é composta pelas seguintes matrizes:
Cada uma dessas matrizes tem um único elemento igual a 1 e os demais iguais a 0.

Passo 3

A transformação T( a & b c & d ) = (a + d, b + c) é definida por:
Isso significa que para qualquer matriz , soma os elementos da diagonal principal para formar a primeira componente do vetor resultante e soma os elementos fora da diagonal para a segunda componente.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a matriz de em relação às bases e , denotada por . Para isso, aplicamos a cada vetor da base e expressamos os resultados na base .

Passo 5

Vamos aplicar T( 1 & 0 0 & 0 ) = (1 + 0, 0 + 0) = (1, 0) a cada uma das matrizes da base T( 0 & 1 0 & 0 ) = (0 + 0, 1 + 0) = (0, 1) :
  1. Para a primeira matriz:
T( 0 & 0 1 & 0 ) = (0 + 0, 0 + 1) = (0, 1)
  1. Para a segunda matriz:
T( 0 & 0 0 & 1 ) = (0 + 1, 0 + 0) = (1, 0)
  1. Para a terceira matriz:
  1. Para a quarta matriz:

Passo 6

Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz [T]alpha^beta = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 . Cada resultado corresponde a uma coluna da matriz, respeitando a ordem dos vetores na base :

Resposta

A matriz de transformação [T]alpha^beta = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 é:

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