Seja,
A=[ll 0 & 1 0 & 2 0 & 1 ], B=[ccc 0 & 0 & 0 1 & 2 & 1 -1 & 0 & 0 ]
Encontre Ker(TA), Im(Ta), Ker(TB), Im(TB) (Estamos nos espaços R^2 e R^3 ). Determine bases para esses espaços.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo (Ker) e a imagem (Im) das transformações lineares representadas pelas matrizes e . Essas transformações estão nos espaços e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo e imagem de uma matriz. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos falar do que são núcleo e imagem de uma matriz.
  • Núcleo (Ker): É o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , dão o vetor zero. Ou seja, .
  • Imagem (Im): É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos multiplicando a matriz por algum vetor . Ou seja, .
Vamos aplicar isso para as matrizes e dadas.

Passo 3

Vamos começar com a matriz A = 0 & 1 0 & 2 0 & 1 :
x1 x2
Primeiro, encontramos o núcleo de 0x1 + 1x2 = 0 0x1 + 2x2 = 0 0x1 + 1x2 = 0 . Precisamos resolver Ker(A) = x1 0 mid x1 in R = span 1 0 , onde 1 0 .
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando, todas as equações indicam que . Não há restrição para , então pode ser qualquer real.
Então, o núcleo de é:
Isso significa que uma base para é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de A = 0 & 1 0 & 2 0 & 1 . Para isso, observamos as colunas de 1 2 1 :
0 0 0
A imagem de Im(A) = span 1 2 1 é o espaço gerado pelas colunas de 1 2 1 . Vamos verificar se as colunas são lineares independentes.
A segunda coluna não é múltipla da primeira coluna (na verdade, a primeira coluna é o vetor zero). Portanto, a imagem de é gerada apenas pela segunda coluna.
Então,
E uma base para é .

Passo 5

Agora, vamos para a matriz B = 0 & 0 & 0 1 & 2 & 1 -1 & 0 & 0 :
x1 x2 x3
Primeiro, vamos achar o núcleo de 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 1x1 + 2x2 + 1x3 = 0 -1x1 + 0x2 + 0x3 = 0 . Precisamos resolver 0 + 2x2 + x3 = 0 Rightarrow 2x2 + x3 = 0 Rightarrow x3 = -2x2 , onde x = 0 x2 -2x2 = x2 0 1 -2 .
Isso nos dá o sistema de equações:
Ker(B) = span 0 1 -2
Da terceira equação, temos 0 1 -2 => .
Substituindo na segunda equação:
Então, as soluções são:
Portanto,
E uma base para é .

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar a imagem de B = 0 & 0 & 0 1 & 2 & 1 -1 & 0 & 0 . Olhando as colunas de c1 = 0 1 -1 , c2 = 0 2 0 , c3 = 0 1 0 :
Im(B) = span 0 1 -1 , 0 2 0
A imagem de 0 1 -1 é o espaço gerado pelas colunas de 0 2 0 . Vamos ver quais colunas são linearmente independentes.
As colunas são:
Vemos que todas as colunas têm o primeiro componente zero, então estão no subespaço com .
Além disso, a terceira coluna é igual a metade da segunda coluna , ou seja, . Portanto, não adiciona nada a mais na imagem.
Assim, a imagem de é gerada por e :
E uma base para é .

Resposta

&Ker(A) = span 1 0 &Im(A) = span 1 2 1 &Ker(B) = span 0 1 -2 &Im(B) = span 0 1 -1 , 0 2 0
As bases para esses espaços são:
&Base de Ker(A): 1 0 &Base de Im(A): 1 2 1 &Base de Ker(B): 0 1 -2 &Base de Im(B): 0 1 -1 , 0 2 0

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