Encontre (Estamos nos espaços e ). Determine bases para esses espaços.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo (Ker) e a imagem (Im) das transformações lineares representadas pelas matrizes e . Essas transformações estão nos espaços e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo e imagem de uma matriz. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos falar do que são núcleo e imagem de uma matriz.
Núcleo (Ker): É o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , dão o vetor zero. Ou seja, .
Imagem (Im): É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos multiplicando a matriz por algum vetor . Ou seja, .
Vamos aplicar isso para as matrizes e dadas.
Passo 3
Vamos começar com a matriz :
Primeiro, encontramos o núcleo de . Precisamos resolver , onde .
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando, todas as equações indicam que . Não há restrição para , então pode ser qualquer real.
Então, o núcleo de é:
Isso significa que uma base para é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de . Para isso, observamos as colunas de :
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas de . Vamos verificar se as colunas são lineares independentes.
A segunda coluna não é múltipla da primeira coluna (na verdade, a primeira coluna é o vetor zero). Portanto, a imagem de é gerada apenas pela segunda coluna.
Então,
E uma base para é .
Passo 5
Agora, vamos para a matriz :
Primeiro, vamos achar o núcleo de . Precisamos resolver , onde .
Isso nos dá o sistema de equações:
Da terceira equação, temos => .
Substituindo na segunda equação:
Então, as soluções são:
Portanto,
E uma base para é .
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar a imagem de . Olhando as colunas de :
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas de . Vamos ver quais colunas são linearmente independentes.
As colunas são:
Vemos que todas as colunas têm o primeiro componente zero, então estão no subespaço com .
Além disso, a terceira coluna é igual a metade da segunda coluna , ou seja, . Portanto, não adiciona nada a mais na imagem.