Encontre Ker(TA), Im(Ta), Ker(TB), Im(TB) (Estamos nos espaços R^2 e R^3 ). Determine bases para esses espaços.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo (Ker) e a imagem (Im) das transformações lineares representadas pelas matrizes e . Essas transformações estão nos espaços e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo e imagem de uma matriz. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos falar do que são núcleo e imagem de uma matriz.
Núcleo (Ker): É o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , dão o vetor zero. Ou seja, .
Imagem (Im): É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos multiplicando a matriz por algum vetor . Ou seja, .
Vamos aplicar isso para as matrizes e dadas.
Passo 3
Vamos começar com a matriz A = 0 & 1 0 & 2 0 & 1 :
x1 x2
Primeiro, encontramos o núcleo de 0x1 + 1x2 = 0 0x1 + 2x2 = 0 0x1 + 1x2 = 0 . Precisamos resolver Ker(A) = x1 0 mid x1 in R = span 1 0 , onde 1 0 .
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando, todas as equações indicam que . Não há restrição para , então pode ser qualquer real.
Então, o núcleo de é:
Isso significa que uma base para é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de A = 0 & 1 0 & 2 0 & 1 . Para isso, observamos as colunas de 1 2 1 :
0 0 0
A imagem de Im(A) = span 1 2 1 é o espaço gerado pelas colunas de 1 2 1 . Vamos verificar se as colunas são lineares independentes.
A segunda coluna não é múltipla da primeira coluna (na verdade, a primeira coluna é o vetor zero). Portanto, a imagem de é gerada apenas pela segunda coluna.
Então,
E uma base para é .
Passo 5
Agora, vamos para a matriz B = 0 & 0 & 0 1 & 2 & 1 -1 & 0 & 0 :