a) Determine a transformação linear
. Ou seja, o valor de
em um polinômio qualquer de
.
b) Encontre um polinômio
tal que
.
b) Encontre um polinômio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta está dividida em duas partes relacionadas a transformações lineares no espaço dos polinômios de grau até 2,
. Na primeira parte, precisamos determinar a transformação linear
para qualquer polinômio nesse espaço. Na segunda parte, vamos encontrar um polinômio específico que, ao ser transformado por
, resulta em uma determinada matriz. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como aplicá-la a polinômios e matrizes.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é uma transformação linear. Em álgebra linear, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. No nosso caso,
é uma transformação que leva polinômios de
para matrizes
.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar uma base para
. Uma base comum para esse espaço é
, pois qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação linear desses termos.
Passo 4
Como
é uma transformação linear, se conhecermos a imagem dos elementos da base, podemos determinar
para qualquer polinômio. No enunciado, já são fornecidas as imagens dos elementos da base:
Passo 5
Agora, para um polinômio geral
, onde
são números reais, a transformação
será:
Isso significa que multiplicamos cada imagem da base pelo coeficiente correspondente e somamos os resultados.
Passo 6
Vamos calcular essa soma:
Passo 7
Somando essas matrizes elemento a elemento:
Passo 8
Então, concluímos que a transformação linear
aplicada a qualquer polinômio
resulta na matriz:
Passo 9
Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Queremos encontrar um polinômio
em
tal que, ao aplicar a transformação
, obtenhamos a seguinte matriz:
Passo 10
Sabemos que para um polinômio
, a transformação
resulta em:
Queremos que isso seja igual a:
Passo 11
Isso nos dá um sistema de equações comparando os elementos correspondentes das duas matrizes:
-
\ -
\ -
\ -
(essa equação já está satisfeita)
Passo 12
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
,
e
.
Primeiro, da equação (2):
Passo 13
Agora, da equação (3):
Substituindo
na equação acima:
Passo 14
Com
, podemos encontrar
usando
:
Passo 15
Agora, usando a equação (1):
Passo 16
Então, os valores encontrados são:
Resposta
O polinômio desejado é: