T(1)=[ll 1 & 0 0 & 0 ], T(x)=[cc 0 & -1 1 & 0 ], T(x^2)=[ll 1 & 1 1 & 0 ]
a) Determine a transformação linear T. Ou seja, o valor de T em um polinômio qualquer de P2(R).
b) Encontre um polinômio p in P2(R) tal que T(p)=[cc1 & -1 3 & 0].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta está dividida em duas partes relacionadas a transformações lineares no espaço dos polinômios de grau até 2, . Na primeira parte, precisamos determinar a transformação linear para qualquer polinômio nesse espaço. Na segunda parte, vamos encontrar um polinômio específico que, ao ser transformado por , resulta em uma determinada matriz. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como aplicá-la a polinômios e matrizes.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é uma transformação linear. Em álgebra linear, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. No nosso caso, é uma transformação que leva polinômios de para matrizes .

Passo 3

Primeiro, vamos identificar uma base para . Uma base comum para esse espaço é , pois qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação linear desses termos.

Passo 4

Como T(1) = 1 & 0 0 & 0 , T(x) = 0 & -1 1 & 0 , T(x^2) = 1 & 1 1 & 0 é uma transformação linear, se conhecermos a imagem dos elementos da base, podemos determinar para qualquer polinômio. No enunciado, já são fornecidas as imagens dos elementos da base:

Passo 5

Agora, para um polinômio geral T(p(x)) = a T(1) + b T(x) + c T(x^2) , onde são números reais, a transformação será:
Isso significa que multiplicamos cada imagem da base pelo coeficiente correspondente e somamos os resultados.

Passo 6

Vamos calcular essa soma:
T(p(x)) = a 1 & 0 0 & 0 + b 0 & -1 1 & 0 + c 1 & 1 1 & 0
= a & 0 0 & 0 + 0 & -b b & 0 + c & c c & 0

Passo 7

Somando essas matrizes elemento a elemento:
T(p(x)) = a + c & -b + c b + c & 0

Passo 8

Então, concluímos que a transformação linear T(p(x)) = a + c & -b + c b + c & 0 aplicada a qualquer polinômio resulta na matriz:

Passo 9

Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Queremos encontrar um polinômio 1 & -1 3 & 0 em tal que, ao aplicar a transformação , obtenhamos a seguinte matriz:

Passo 10

Sabemos que para um polinômio T(p(x)) = a + c & -b + c b + c & 0 , a transformação 1 & -1 3 & 0 resulta em:
Queremos que isso seja igual a:

Passo 11

Isso nos dá um sistema de equações comparando os elementos correspondentes das duas matrizes:
  1. \
  2. \
  3. \
  4. (essa equação já está satisfeita)

Passo 12

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de -b + c = -1 Rightarrow c - b = -1 Rightarrow b = c + 1 , e .
Primeiro, da equação (2):

Passo 13

Agora, da equação (3):
b + c = 3
Substituindo (c + 1) + c = 3 Rightarrow 2c + 1 = 3 Rightarrow 2c = 2 Rightarrow c = 1 na equação acima:

Passo 14

Com b = 1 + 1 = 2 , podemos encontrar usando :

Passo 15

Agora, usando a equação (1):
a + c = 1 Rightarrow a + 1 = 1 Rightarrow a = 0

Passo 16

Então, os valores encontrados são:
a = 0, b = 2, c = 1

Resposta

O polinômio desejado é:
p(x) = 0 + 2x + 1x^2 = 2x + x^2

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