V cong W Long<=ftrightarrow existe um isomorfismo T: V W
Prove que esta é uma relação de equivalência sobre o conjunto dos espaços vetoriais.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear. O problema pede para provar que a relação de isomorfismo entre espaços vetoriais é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos mostrar que essa relação é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

Reflexividade:
Toda espaço vetorial é isomorfo a si mesmo. Isso porque podemos usar a aplicação identidade , que mapeia cada vetor em si mesmo. A aplicação identidade é linear e bijetora, então é um isomorfismo.

Passo 3

Simetria:
Se um espaço vetorial é isomorfo a através de um isomorfismo , então também é isomorfo a . Isso acontece porque o inverso de , denotado por , também é uma aplicação linear e bijetora, portanto, um isomorfismo.

Passo 4

Transitividade:
Se é isomorfo a através de e é isomorfo a através de , então é isomorfo a . Isso é porque a composição das duas transformações, , é também linear e bijetora, sendo assim um isomorfismo.

Resposta

Portanto, a relação de isomorfismo é uma relação de equivalência sobre o conjunto dos espaços vetoriais.

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