Prove que esta é uma relação de equivalência sobre o conjunto dos espaços vetoriais.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear. O problema pede para provar que a relação de isomorfismo entre espaços vetoriais é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos mostrar que essa relação é reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 2
Reflexividade:
Toda espaço vetorial é isomorfo a si mesmo. Isso porque podemos usar a aplicação identidade
, que mapeia cada vetor em si mesmo. A aplicação identidade é linear e bijetora, então é um isomorfismo.
Toda espaço vetorial
Passo 3
Simetria:
Se um espaço vetorial é isomorfo a
através de um isomorfismo
, então
também é isomorfo a
. Isso acontece porque o inverso de
, denotado por
, também é uma aplicação linear e bijetora, portanto, um isomorfismo.
Se um espaço vetorial
Passo 4
Transitividade:
Se é isomorfo a
através de
e
é isomorfo a
através de
, então
é isomorfo a
. Isso é porque a composição das duas transformações,
, é também linear e bijetora, sendo assim um isomorfismo.
Se
Resposta
Portanto, a relação de isomorfismo é uma relação de equivalência sobre o conjunto dos espaços vetoriais.