Determine uma transformação linear
cuja imagem é gerada pelo vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar uma transformação linear
cuja imagem é gerada pelo vetor
. Isso significa que todos os resultados da transformação
devem estar na direção desse vetor específico. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como representá-las usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como estamos indo de
para
, a matriz será de tamanho
. Vamos chamar essa matriz de
. Então,
, onde
é um vetor em
.
Passo 3
Agora, queremos que a imagem de
seja gerada pelo vetor
. Isso significa que qualquer vetor resultante de
deve ser um múltiplo desse vetor. Em outras palavras, a imagem de
deve ser a linha gerada por
.
Passo 4
Para garantir que a imagem de
seja precisamente essa linha, podemos construir
de forma que todas as colunas sejam múltiplos do vetor
. Uma maneira simples de fazer isso é definir
com a primeira coluna sendo
e as demais colunas sendo vetores nulos (porque não queremos adicionar mais direções à imagem).
Passo 5
Então, nossa matriz
fica assim:
Dessa forma, qualquer vetor
em
será transformado em:
Ou seja,
é sempre um múltiplo de
, como queríamos.
Resposta
Uma transformação linear que atende aos requisitos é dada pela matriz
onde para qualquer vetor
em
, temos
Essa transformação tem como imagem a linha gerada pelo vetor
.
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Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
Seja
uma transformação linear definida por
. Quais dos vetores abaixo pertencem ao núcleo de
?
Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
a.
a.
Seja
a transformação linear dada por
. Sejam
a base canônica do
e
base do
. Determine
.