Determine uma transformação linear T: R^3 R^2 cuja imagem é gerada pelo vetor (1,-2).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar uma transformação linear cuja imagem é gerada pelo vetor . Isso significa que todos os resultados da transformação devem estar na direção desse vetor específico. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como representá-las usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como estamos indo de para , a matriz será de tamanho . Vamos chamar essa matriz de . Então, , onde é um vetor em .

Passo 3

Agora, queremos que a imagem de seja gerada pelo vetor . Isso significa que qualquer vetor resultante de deve ser um múltiplo desse vetor. Em outras palavras, a imagem de deve ser a linha gerada por .

Passo 4

Para garantir que a imagem de seja precisamente essa linha, podemos construir de forma que todas as colunas sejam múltiplos do vetor . Uma maneira simples de fazer isso é definir com a primeira coluna sendo e as demais colunas sendo vetores nulos (porque não queremos adicionar mais direções à imagem).

Passo 5

Então, nossa matriz A = 1 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 fica assim:
T(x) = Ax = 1 cdot x1 + 0 cdot x2 + 0 cdot x3 -2 cdot x1 + 0 cdot x2 + 0 cdot x3 = x1 -2x1
Dessa forma, qualquer vetor em será transformado em:
Ou seja, é sempre um múltiplo de , como queríamos.

Resposta

Uma transformação linear que atende aos requisitos é dada pela matriz
T(x) = 1 & 0 & 0 -2 & 0 & 0
onde para qualquer vetor T(x) = x1 -2x1 em , temos
Essa transformação tem como imagem a linha gerada pelo vetor .

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