Seja T: R^3 R^2 a transformação linear dada por T(x, y, z)=(x-y+2 z, x-y-z). Sejam beta a base canônica do R^2 e alpha=(1,1,0),(1,1,1),(1,-2,-1) base do R^3. Determine [T]beta^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a matriz de representação da transformação linear em relação às bases dadas. Especificamente, queremos encontrar , onde:
  • Base : É a base canônica de , ou seja, .
  • Base : É uma base de formada pelos vetores .
Para resolver isso, precisamos entender como a transformação atua nos vetores da base e expressar esses resultados na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando fixamos as bases dos espaços de partida e chegada. A matriz será uma matriz porque mapeia vetores de (3 dimensões) para (2 dimensões).
Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem, pelo , de um vetor da base , expressa na base . Como é a base canônica, as coordenadas das imagens já estar��o diretamente alinhadas com os componentes resultantes da transformação.

Passo 3

Vamos calcular T(1,1,0) = (x - y + 2z, , x - y - z) = (1 - 1 + 2 cdot 0, , 1 - 1 - 0) = (0, 0) para cada vetor da base T(1,1,1) = (1 - 1 + 2 cdot 1, , 1 - 1 - 1) = (2, -1) :
  1. Para o primeiro vetor da base T(1,-2,-1) = (1 - (-2) + 2 cdot (-1), , 1 - (-2) - (-1)) = (1 + 2 - 2, , 1 + 2 + 1) = (1, 4) :
  2. Para o segundo vetor da base :
  3. Para o terceiro vetor da base :

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores da base [T]beta^alpha = 0 & 2 & 1 0 & -1 & 4 aplicados pela transformação , vamos organizar esses resultados como colunas na matriz . Cada coluna da matriz corresponderá a , onde é o -ésimo vetor da base .
Portanto, temos:

Resposta

A matriz de representação da transformação [T]beta^alpha = 0 & 2 & 1 0 & -1 & 4 em relação às bases e é:

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