Seja a transformação linear dada por . Sejam a base canônica do e base do . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a matriz de representação da transformação linear em relação às bases dadas. Especificamente, queremos encontrar , onde:
  • Base : É a base canônica de , ou seja, .
  • Base : É uma base de formada pelos vetores .
Para resolver isso, precisamos entender como a transformação atua nos vetores da base e expressar esses resultados na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando fixamos as bases dos espaços de partida e chegada. A matriz será uma matriz porque mapeia vetores de (3 dimensões) para (2 dimensões).
Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem, pelo , de um vetor da base , expressa na base . Como é a base canônica, as coordenadas das imagens já estar��o diretamente alinhadas com os componentes resultantes da transformação.

Passo 3

Vamos calcular para cada vetor da base :
  1. Para o primeiro vetor da base :
  2. Para o segundo vetor da base :
  3. Para o terceiro vetor da base :

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores da base aplicados pela transformação , vamos organizar esses resultados como colunas na matriz . Cada coluna da matriz corresponderá a , onde é o -ésimo vetor da base .
Portanto, temos:

Resposta

A matriz de representação da transformação em relação às bases e é:

Exercícios relacionados

Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
a.
Determine uma transformação linear cuja imagem é gerada pelo vetor .
Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
f.
Seja o operador linear derivada, isto é, . Encontre o e a .