Seja
a transformação linear dada por
. Sejam
a base canônica do
e
base do
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a matriz de representação da transformação linear
em relação às bases dadas. Especificamente, queremos encontrar
, onde:
- Base
: É a base canônica de , ou seja, . - Base
: É uma base de formada pelos vetores .
Para resolver isso, precisamos entender como a transformação
atua nos vetores da base
e expressar esses resultados na base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando fixamos as bases dos espaços de partida e chegada. A matriz
será uma matriz
porque
mapeia vetores de
(3 dimensões) para
(2 dimensões).
Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem, pelo
, de um vetor da base
, expressa na base
. Como
é a base canônica, as coordenadas das imagens já estar��o diretamente alinhadas com os componentes resultantes da transformação.
Passo 3
Vamos calcular
para cada vetor da base
:
-
Para o primeiro vetor da base
: -
Para o segundo vetor da base
: -
Para o terceiro vetor da base
:
Passo 4
Agora que temos as imagens dos vetores da base
aplicados pela transformação
, vamos organizar esses resultados como colunas na matriz
. Cada coluna da matriz corresponderá a
, onde
é o
-ésimo vetor da base
.
Portanto, temos:
Resposta
A matriz de representação da transformação
em relação às bases
e
é:
Exercícios relacionados
Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
a.
a.
Determine uma transformação linear
cuja imagem é gerada pelo vetor
.
Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
f.
f.
Seja
o operador linear derivada, isto é,
. Encontre o
e a
.