Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear definida por T(x, y)=(2 x+y, 4 x+2 y). Quais dos vetores abaixo pertencem ao núcleo de T ? (1,2)

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre transformações lineares, que é um tópico de álgebra linear. Precisamos identificar se o vetor (1,2) pertence ao núcleo da transformação linear T definida por T(x, y) = (2x + y, 4x + 2y). Para resolver isso, vamos verificar se, ao aplicar T no vetor (1,2), obtemos o vetor nulo (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T, denotado por Ker(T), é o conjunto de todos os vetores v em R^2 tais que T(v) = 0. Ou seja, estamos procurando vetores que, quando transformados por T, resultam no vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação T no vetor (1,2). Substituindo x = 1 e y = 2 na definição de T:
T(1, 2) = (2 cdot 1 + 2, 4 cdot 1 + 2 cdot 2) = (2 + 2, 4 + 4) = (4, 8)

Passo 4

Verificamos se o resultado é o vetor zero. Como T(1, 2) = (4, 8) neq (0, 0), isso significa que o vetor (1,2) não pertence ao núcleo de T.

Resposta

O vetor (1,2) não pertence ao núcleo de T.

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