Seja o campo escalar . Determine a derivada direcional no ponto , na orientação do vetor , onde .
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado nos dá um campo escalar definido por . Nossa missão é encontrar a derivada direcional desse campo no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente de e normalizar o vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de um campo escalar numa direção qualquer é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário que indica a direção desejada. Ou seja,
onde é o gradiente de e é o vetor unitário na direção de .
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e :
Portanto,
Passo 5
Vamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua norma (comprimento):
Então,
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é ou, racionalizando, .