Seja o campo escalar . Determine a derivada direcional no ponto , na orientação do vetor , onde .

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado nos dá um campo escalar definido por . Nossa missão é encontrar a derivada direcional desse campo no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente de e normalizar o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de um campo escalar numa direção qualquer é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário que indica a direção desejada. Ou seja,
onde é o gradiente de e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e :
Portanto,

Passo 5

Vamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua norma (comprimento):
Então,

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é ou, racionalizando, .

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