Seja o campo escalar
. Determine a derivada direcional no ponto
, na orientação do vetor
, onde
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado nos dá um campo escalar definido por
. Nossa missão é encontrar a derivada direcional desse campo no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente de
e normalizar o vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de um campo escalar numa direção qualquer é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário que indica a direção desejada. Ou seja,
onde
é o gradiente de
e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
:
Portanto,
Passo 5
Vamos normalizar o vetor
para obter o vetor unitário
. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua norma (comprimento):
Então,
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
ou, racionalizando,
.