Seja o campo escalar Phi(x, y, z)=x y^2+y z^3. Determine a derivada direcional no ponto (0,1,2), na orientação do vetor 1|u| cdot u, onde u=(1,2,1).

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado nos dá um campo escalar definido por . Nossa missão é encontrar a derivada direcional desse campo no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente de e normalizar o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de um campo escalar numa direção qualquer é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário que indica a direção desejada. Ou seja,
Du Phi = nabla Phi cdot u
onde é o gradiente de e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de nabla Phi = ( partial Phipartial x, partial Phipartial y, partial Phipartial z ) . O gradiente é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de partial Phipartial x = y^2 em relação a cada variável:
partial Phipartial y = 2x y + z^3
Calculando cada derivada:
partial Phipartial z = 3y z^2
nabla Phi = (y^2, , 2x y + z^3, , 3y z^2)
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto partial Phipartial x = (1)^2 = 1 . Substituindo partial Phipartial y = 2 cdot 0 cdot 1 + (2)^3 = 0 + 8 = 8 , partial Phipartial z = 3 cdot 1 cdot (2)^2 = 3 cdot 1 cdot 4 = 12 e nabla Phi(0, 1, 2) = (1, , 8, , 12) :
Portanto,

Passo 5

Vamos normalizar o vetor |u| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 para obter o vetor unitário u = 1raiz6 cdot (1, 2, 1) = ( 1raiz6, 2raiz6, 1raiz6 ) . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua norma (comprimento):
Então,

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Du Phi = nabla Phi(0,1,2) cdot u = (1, 8, 12) cdot ( 1raiz6, 2raiz6, 1raiz6 )
Calculando o produto escalar:
Du Phi = 1 cdot 1raiz6 + 8 cdot 2raiz6 + 12 cdot 1raiz6 = 1 + 16 + 12raiz6 = 29raiz6
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Du Phi = 29 raiz66

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é ou, racionalizando, .

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