Seja uma transformação linear de em tal que e . Encontre .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com transformações lineares, que são funções que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Aqui, queremos encontrar a transformação que leva vetores de para . Para isso, vamos precisar entender como essa transformação atua em vetores específicos e depois generalizar para qualquer .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz que representa terá 3 linhas e 2 colunas. Vamos chamar essa matriz de :
Então, a transformação pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, vamos usar as informações que o exercício dá para encontrar os valores de T(1, 1) = 1 -2 0 e T(2, 3) = 0 1 2 .
Sabemos que:
a cdot 1 + b cdot 1 = 1 c cdot 1 + d cdot 1 = -2 e cdot 1 + f cdot 1 = 0
a + b = 1 c + d = -2 e + f = 0
Vamos substituir esses valores na expressão da transformação.
Para a cdot 2 + b cdot 3 = 0 c cdot 2 + d cdot 3 = 1 e cdot 2 + f cdot 3 = 2 :
2a + 3b = 0 2c + 3d = 1 2e + 3f = 2
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a + b = 1 Rightarrow a = 1 - b e 2(1 - b) + 3b = 0 2 - 2b + 3b = 0 2 + b = 0 b = -2 .
Primeiro, da primeira equação do primeiro sistema:
c + d = -2 Rightarrow c = -2 - d
Substituindo 2(-2 - d) + 3d = 1 -4 - 2d + 3d = 1 -4 + d = 1 d = 5 na segunda equação do segundo sistema:
e + f = 0 Rightarrow e = -f
Então, 2(-f) + 3f = 2 -2f + 3f = 2 f = 2 .
Agora, para e :
Substituindo na segunda equação do segundo sistema:
Então, .
Para e :
Substituindo na terceira equação do segundo sistema:
Então, .
Resposta
Depois de resolver o sistema, encontramos os valores dos coeficientes:
A = 3 & -2 -7 & 5 -2 & 2
Portanto, a transformação T(x, y) = 3x - 2y -7x + 5y -2x + 2y é dada por: