Seja uma transformação linear de em tal que e . Encontre .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com transformações lineares, que são funções que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Aqui, queremos encontrar a transformação que leva vetores de para . Para isso, vamos precisar entender como essa transformação atua em vetores específicos e depois generalizar para qualquer .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz que representa terá 3 linhas e 2 colunas. Vamos chamar essa matriz de :
Então, a transformação pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, vamos usar as informações que o exercício dá para encontrar os valores de e .
Sabemos que:
Vamos substituir esses valores na expressão da transformação.
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Primeiro, da primeira equação do primeiro sistema:
Substituindo na segunda equação do segundo sistema:
Então, .
Agora, para e :
Substituindo na segunda equação do segundo sistema:
Então, .
Para e :
Substituindo na terceira equação do segundo sistema:
Então, .
Resposta
Depois de resolver o sistema, encontramos os valores dos coeficientes: