Seja T uma transformação linear de R^2 em R^3 tal que T(1,1)=(1,-2,0) e T(2,3)=(0,1,2). Encontre T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com transformações lineares, que são funções que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Aqui, queremos encontrar a transformação que leva vetores de para . Para isso, vamos precisar entender como essa transformação atua em vetores específicos e depois generalizar para qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como A = a & b c & d e & f vai de T(x, y) = A cdot x y = a x + b y c x + d y e x + f y para , a matriz que representa terá 3 linhas e 2 colunas. Vamos chamar essa matriz de :
Então, a transformação pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, vamos usar as informações que o exercício dá para encontrar os valores de T(1, 1) = 1 -2 0 e T(2, 3) = 0 1 2 .
Sabemos que:
a cdot 1 + b cdot 1 = 1 c cdot 1 + d cdot 1 = -2 e cdot 1 + f cdot 1 = 0
a + b = 1 c + d = -2 e + f = 0
Vamos substituir esses valores na expressão da transformação.
Para a cdot 2 + b cdot 3 = 0 c cdot 2 + d cdot 3 = 1 e cdot 2 + f cdot 3 = 2 :
2a + 3b = 0 2c + 3d = 1 2e + 3f = 2
Simplificando:
Para :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a + b = 1 Rightarrow a = 1 - b e 2(1 - b) + 3b = 0 2 - 2b + 3b = 0 2 + b = 0 b = -2 .
Primeiro, da primeira equação do primeiro sistema:
c + d = -2 Rightarrow c = -2 - d
Substituindo 2(-2 - d) + 3d = 1 -4 - 2d + 3d = 1 -4 + d = 1 d = 5 na segunda equação do segundo sistema:
e + f = 0 Rightarrow e = -f
Então, 2(-f) + 3f = 2 -2f + 3f = 2 f = 2 .
Agora, para e :
Substituindo na segunda equação do segundo sistema:
Então, .
Para e :
Substituindo na terceira equação do segundo sistema:
Então, .

Resposta

Depois de resolver o sistema, encontramos os valores dos coeficientes:
A = 3 & -2 -7 & 5 -2 & 2
Portanto, a transformação T(x, y) = 3x - 2y -7x + 5y -2x + 2y é dada por:

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