Determine uma transformação linear cujo núcleo é gerado pelo vetor (1, 2, -1 ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar uma transformação linear cujo núcleo (ou espaço nulo) é gerado pelo vetor . Isso significa que queremos encontrar uma função linear que leva vetores de 3 dimensões para 2 dimensões e que somente os múltiplos de são mapeados para o vetor zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como núcleo de uma transformação linear, matrizes e sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho tal que . O núcleo de é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Nosso objetivo é construir essa matriz de forma que o único vetor (até múltiplos) que satisfaça essa equação seja .
Passo 3
Sabemos que o núcleo de é o conjunto de soluções do sistema linear homogêneo . Como queremos que o núcleo seja gerado pelo vetor , isso significa que qualquer vetor no núcleo deve ser um múltiplo desse vetor. Para que isso aconteça, as linhas da matriz devem ser ortogonais a . Ou seja, se as linhas de são e , então:
Passo 4
Vamos encontrar duas linhas a1x + b1y + c1z = 0 a2x + b2y + c2z = 0 e a1 cdot 1 + b1 cdot 2 + c1 cdot (-1) = 0 a2 cdot 1 + b2 cdot 2 + c2 cdot (-1) = 0 que satisfaçam essas condições. Uma maneira simples de fazer isso é escolher duas equações lineares que sejam satisfeitas pelo vetor . Por exemplo:
Substituindo nessas equações, temos:
Vamos escolher valores para e que satisfaçam essas equações.
Passo 5
Uma escolha simples é selecionar duas equações lineares que não sejam múltiplos uma da outra. Por exemplo:
x + 2y - z = 0 (ou seja, a1 = (1, 2, -1)) y = 0 (ou seja, a2 = (0, 1, 0))
Mas percebemos que 2x - y = 0 (a1 = (2, -1, 0)) x + z = 0 (a2 = (1, 0, 1)) está na direção do núcleo, o que não queremos. Então, vamos escolher outras. Por exemplo:
Essas duas linhas são ortogonais a e não são múltiplas uma da outra, garantindo que o núcleo seja exatamente gerado por .
Passo 6
Agora, podemos montar a matriz A = 2 & -1 & 0 1 & 0 & 1 com essas duas linhas:
Essa matriz define a transformação linear desejada, já que seu núcleo é exatamente o conjunto de múltiplos do vetor .
Resposta
A transformação linear requerida pode ser representada pela matriz: