Encontre uma transformação linear T: R^3 R^2 tal que T(1,0,2)=(1,2), T(0,1,1)=(-1,0) e T(3,0,1)=(3,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma transformação linear que transforma vetores específicos de em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente matrizes que representam transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, sabemos que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que . Como vai de para , a matriz será de dimensão .

Passo 3

Vamos chamar a matriz A = a & b & c d & e & f de:
A 1 0 2 = 1 2, A 0 1 1 = -1 0, A 3 0 1 = 3 -1
Precisamos encontrar os valores de que satisfazem as seguintes equações baseadas nas transformações dadas:

Passo 4

Vamos traduzir essas transformações em equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  • Da equação 1: 3(1 - 2c) + c = 3 Rightarrow 3 - 6c + c = 3 Rightarrow -5c = 0 Rightarrow c = 0
  • Da equação 3: 3(2 - 2f) + f = -1 Rightarrow 6 - 6f + f = -1 Rightarrow -5f = -7 Rightarrow f = 75
  • Substituindo na equação 5:
  • Então, e
  • Da equação 4:
  • Da equação 2:
  • Substituindo na equação 6:
  • Então, e

Passo 6

Agora que temos todos os valores, a matriz A = 1 & -1 & 0 -45 & -75 & 75 fica:
T(x, y, z) = 1 & -1 & 0 -45 & -75 & 75 x y z
Portanto, a transformação linear é dada por:

Resposta

A transformação linear T(x, y, z) = 1 & -1 & 0 -45 & -75 & 75 x y z é representada pela matriz:

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