Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma transformação linear que transforma vetores específicos de em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente matrizes que representam transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, sabemos que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que . Como vai de para , a matriz será de dimensão .
Passo 3
Vamos chamar a matriz de:
Precisamos encontrar os valores de que satisfazem as seguintes equações baseadas nas transformações dadas:
Passo 4
Vamos traduzir essas transformações em equações:
→
→
→
→
→
→
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da equação 1: 3(1 - 2c) + c = 3 Rightarrow 3 - 6c + c = 3 Rightarrow -5c = 0 Rightarrow c = 0
Da equação 3: 3(2 - 2f) + f = -1 Rightarrow 6 - 6f + f = -1 Rightarrow -5f = -7 Rightarrow f = 75
Substituindo na equação 5:
Então, e
Da equação 4:
Da equação 2:
Substituindo na equação 6:
Então, e
Passo 6
Agora que temos todos os valores, a matriz A = 1 & -1 & 0 -45 & -75 & 75 fica:
T(x, y, z) = 1 & -1 & 0 -45 & -75 & 75 x y z
Portanto, a transformação linear é dada por:
Resposta
A transformação linear T(x, y, z) = 1 & -1 & 0 -45 & -75 & 75 x y z é representada pela matriz: