Determine uma transformação linear T: R^4 longrightarrow R^-1 tal que N u c(T)=[(1,0,1,0),(-1,0,0,1)] e Im(T)=[(1,-1,0,2),(0,1,-1,0)]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear (provavelmente ) tal que o núcleo de seja o conjunto dos vetores e a imagem de seja o conjunto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, e construção de matrizes de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, . Na nossa questão, esse núcleo é gerado pelos vetores e .

Passo 3

Agora, vamos considerar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . A imagem dada é gerada pelos vetores e . Porém, como estamos mapeando para , parece que houve um erro na questão. Vamos assumir que a imagem está correta como sendo gerada por dois vetores em .

Passo 4

Vamos construir a matriz da transformação linear . Sabemos que a dimensão de é 4 e a de é 2. Portanto, a matriz de terá 2 linhas e 4 colunas, ou seja, será uma matriz . Nossa missão é determinar os elementos dessa matriz de forma que as condições do núcleo e da imagem sejam satisfeitas.

Passo 5

Para que o núcleo de A 1 0 1 0 = 0 e A -1 0 0 1 = 0 seja gerado por e , devemos garantir que esses vetores sejam soluções da equação . Isso significa que, se representarmos a matriz de por , teremos:

Passo 6

Além disso, para que a imagem de seja gerada por e , precisamos que as colunas da matriz sejam combinações desses vetores. Basicamente, queremos que as colunas de estejam no espaço gerado por e .

Passo 7

Vamos supor que a matriz A = a & b & c & d e & f & g & h seja:
a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 + d cdot 0 = 0 e cdot 1 + f cdot 0 + g cdot 1 + h cdot 0 = 0 e a cdot (-1) + b cdot 0 + c cdot 0 + d cdot 1 = 0 e cdot (-1) + f cdot 0 + g cdot 0 + h cdot 1 = 0
Para satisfazer as condições do núcleo, temos:

Passo 8

Resolvendo essas equações, temos:
  1. e
  2. e
Da primeira equação: e .
Da segunda equação: e .

Passo 9

Agora, substituímos A = a & b & -a & a e & f & -e & e e , e na matriz :

Passo 10

Para garantir que a imagem de seja gerada por e , precisamos que as colunas de sejam combinações lineares desses vetores. Ou seja, cada coluna de deve ser uma combinação de e .

Passo 11

Assumindo que A = 1 & b & -1 & 1 0 & f & 0 & 0 é livre, vamos escolher A = 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 e para simplificar. Assim, a matriz fica:
Para que as colunas sejam combinações de e , podemos escolher e . Assim, temos:

Resposta

A transformação linear T = 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 pode ser representada pela matriz:

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