Seja
dada por
.
Determine
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por
. O que precisamos descobrir é o conjunto
, ou seja, todos os valores de
que fazem a função
estar no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre funções racionais e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função
esteja bem definida. Isso significa que o denominador não pode ser zero. Então, vamos encontrar quando
:
Portanto,
não está em
.
Passo 3
Agora, queremos que
esteja no intervalo
. Isso se traduz na seguinte desigualdade:
Vamos resolver essa desigualdade em duas partes: primeiro,
e depois
.
Passo 4
Vamos resolver a primeira parte:
Para resolver isso, multiplicamos ambos os lados da desigualdade por
. Mas atenção! Se
for positivo, a desigualdade mantém o sinal; se for negativo, o sinal se inverte. Por isso, precisamos considerar dois casos:
Caso 1:
(ou seja,
)
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Adicionando 27 a ambos os lados:
Dividindo por 5:
Mas lembrando que
neste caso, então
deve ser menor que 3.
Caso 2:
(ou seja,
)
Multiplicando ambos os lados por
e invertendo o sinal da desigualdade:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Adicionando 27 a ambos os lados:
Dividindo por 5:
Mas aqui
, então
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda parte da desigualdade:
Assim como antes, multiplicamos ambos os lados por
considerando os dois casos.
Caso 1:
(ou seja,
)
Multiplicando ambos os lados:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Caso 2:
(ou seja,
)
Multiplicando e invertendo o sinal:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Mas aqui
, então
.
Passo 6
Agora, vamos juntar as soluções das duas partes.
Para a primeira desigualdade
:
- Se
, então (mas já sabemos que ) - Se
, então
Para a segunda desigualdade
:
- Se
, então - Se
, então
Para que ambas as condições sejam satisfeitas simultaneamente, precisamos encontrar a interseção das soluções.
- Para
: - Para
:
Resposta
Então, o conjunto
é: