Seja f: A [-9,-1) dada por f(x)=4 x+33-x.
Determine A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . O que precisamos descobrir é o conjunto , ou seja, todos os valores de que fazem a função estar no intervalo . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre funções racionais e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função 3 - x neq 0 implies x neq 3 esteja bem definida. Isso significa que o denominador não pode ser zero. Então, vamos encontrar quando :
Portanto, não está em .

Passo 3

Agora, queremos que -9 <= 4x + 33 - x < -1 esteja no intervalo . Isso se traduz na seguinte desigualdade:
Vamos resolver essa desigualdade em duas partes: primeiro, e depois .

Passo 4

Vamos resolver a primeira parte:
4x + 33 - x >= -9
Para resolver isso, multiplicamos ambos os lados da desigualdade por 4x + 3 >= -9(3 - x) . Mas atenção! Se 4x + 3 >= -27 + 9x for positivo, a desigualdade mantém o sinal; se for negativo, o sinal se inverte. Por isso, precisamos considerar dois casos:
Caso 1: 3 >= -27 + 5x (ou seja, 30 >= 5x )
Multiplicando ambos os lados por 6 >= x implies x <= 6 :
4x + 3 <= -9(3 - x)
Simplificando:
4x + 3 <= -27 + 9x
Subtraindo 3 <= -27 + 5x de ambos os lados:
30 <= 5x
Adicionando 27 a ambos os lados:
6 <= x implies x >= 6
Dividindo por 5:
Mas lembrando que neste caso, então deve ser menor que 3.
Caso 2: (ou seja, )
Multiplicando ambos os lados por e invertendo o sinal da desigualdade:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Adicionando 27 a ambos os lados:
Dividindo por 5:
Mas aqui , então .

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda parte da desigualdade:
4x + 33 - x < -1
Assim como antes, multiplicamos ambos os lados por 4x + 3 < -1(3 - x) considerando os dois casos.
Caso 1: 4x + 3 < -3 + x (ou seja, 3x + 3 < -3 )
Multiplicando ambos os lados:
3x < -6
Simplificando:
x < -2
Subtraindo 4x + 3 > -1(3 - x) de ambos os lados:
4x + 3 > -3 + x
Subtraindo 3 de ambos os lados:
3x + 3 > -3
Dividindo por 3:
3x > -6
Caso 2: x > -2 (ou seja, )
Multiplicando e invertendo o sinal:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Mas aqui , então .

Passo 6

Agora, vamos juntar as soluções das duas partes.
Para a primeira desigualdade :
  • Se , então (mas já sabemos que )
  • Se , então
Para a segunda desigualdade :
  • Se , então
  • Se , então
Para que ambas as condições sejam satisfeitas simultaneamente, precisamos encontrar a interseção das soluções.
  • Para :
  • Para :

Resposta

Então, o conjunto A = (-infty, -2) cup [6, +infty) é:

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