Seja f: Z4 Z4 times Z4 dada por f(barx)=(9+x, x+1).
f é sobrejetora?

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos apresenta uma função definida por . Nosso objetivo é verificar se essa função é sobrejetora. Para isso, precisamos entender o que é uma função sobrejetora e como podemos aplicá-la nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora (ou sobre) se, para cada elemento no conjunto de chegada ( ), existe pelo menos um elemento no conjunto de partida ( ) que mapeia para ele. Em outras palavras, todo par possível em deve ser atingido pela função .

Passo 3

Vamos listar todos os elementos de Z4 = 0, 1, 2, 3 . Esse conjunto contém os resíduos de divisão por 4, ou seja:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a função f(0) = (9+0, 0+1) = (9, 1) para cada elemento de f(0) = (1, 1) e ver quais pares f(1) = (9+1, 1+1) = (10, 2) são obtidos:
  1. Para f(1) = (2, 2) :
f(2) = (9+2, 2+1) = (11, 3)
Como f(2) = (3, 3) , temos:
f(3) = (9+3, 3+1) = (12, 0)
  1. Para f(3) = (0, 0) :
Como , temos:
  1. Para :
Como , temos:
  1. Para :
Como , temos:

Passo 5

Agora, vamos listar todos os pares resultantes da aplicação da função (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 0) :

Passo 6

O conjunto de chegada contém todos os pares possíveis de , ou seja, 16 pares no total. No entanto, a função só atinge 4 desses pares.

Resposta

Não, a função não é sobrejetora, pois nem todos os pares de são atingidos por .

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