Vamos lá! O exercício nos apresenta uma função definida por . Nosso objetivo é verificar se essa função é sobrejetora. Para isso, precisamos entender o que é uma função sobrejetora e como podemos aplicá-la nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora (ou sobre) se, para cada elemento no conjunto de chegada (), existe pelo menos um elemento no conjunto de partida () que mapeia para ele. Em outras palavras, todo par possível em deve ser atingido pela função .
Passo 3
Vamos listar todos os elementos de Z4 = 0, 1, 2, 3 . Esse conjunto contém os resíduos de divisão por 4, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a função f(0) = (9+0, 0+1) = (9, 1) para cada elemento de f(0) = (1, 1) e ver quais pares f(1) = (9+1, 1+1) = (10, 2) são obtidos:
Para f(1) = (2, 2) :
f(2) = (9+2, 2+1) = (11, 3)
Como f(2) = (3, 3) , temos:
f(3) = (9+3, 3+1) = (12, 0)
Para f(3) = (0, 0) :
Como , temos:
Para :
Como , temos:
Para :
Como , temos:
Passo 5
Agora, vamos listar todos os pares resultantes da aplicação da função (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 0) :
Passo 6
O conjunto de chegada contém todos os pares possíveis de , ou seja, 16 pares no total. No entanto, a função só atinge 4 desses pares.
Resposta
Não, a função não é sobrejetora, pois nem todos os pares de são atingidos por .