Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear tal que:
O núcleo de () seja o conjunto gerado pelos vetores e .
A imagem de () seja o conjunto gerado pelos vetores e .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, núcleo e imagem de transformações lineares, além de como construir uma matriz que represente com essas propriedades.
Passo 2
Vamos começar determinando uma base para o núcleo de . Os vetores dados e são linearmente independentes, então eles formam uma base para . Isso significa que qualquer vetor em que satisfaz pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 3
Agora, vamos considerar a imagem de . Os vetores e são também linearmente independentes e formam uma base para . Isso significa que a transformação deve mapear vetores de para combinações lineares desses dois vetores na imagem.
Passo 4
Para construir a matriz de , precisamos relacionar o domínio e a imagem. Sabemos que:
O núcleo de tem dimensão 2.
A imagem de também tem dimensão 2.
Pelo teorema do posto e núcleo, , que confirma 4 = 2 + 2.
Vamos escolher uma base para que seja composta pelos vetores do núcleo e por outros dois vetores que se mapeiam para a base da imagem. Por exemplo, podemos completar a base do núcleo com dois vetores que não estão no núcleo, digamos e .
Passo 5
Com essa base, a transformação pode ser definida de forma que:
Isso garante que os vetores do núcleo sejam enviados para zero e que a imagem de seja exatamente a combinação linear dos vetores escolhidos.
Resposta
A transformação linear pode ser representada pela seguinte matriz:
Essa matriz satisfaz as condições dadas para o núcleo e a imagem de .