Determine uma transformação linear T: R^4 longrightarrow R^4 tal que N u c(T)=[(1,0,1,0),(-1,0,0,1)] e Im(T)=[(1,-1,0,2),(0,1,-1,0)].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear tal que:
  • O núcleo de ( ) seja o conjunto gerado pelos vetores e .
  • A imagem de ( ) seja o conjunto gerado pelos vetores e .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, núcleo e imagem de transformações lineares, além de como construir uma matriz que represente com essas propriedades.

Passo 2

Vamos começar determinando uma base para o núcleo de . Os vetores dados e são linearmente independentes, então eles formam uma base para . Isso significa que qualquer vetor em que satisfaz pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 3

Agora, vamos considerar a imagem de . Os vetores e são também linearmente independentes e formam uma base para . Isso significa que a transformação deve mapear vetores de para combinações lineares desses dois vetores na imagem.

Passo 4

Para construir a matriz de , precisamos relacionar o domínio e a imagem. Sabemos que:
  • O núcleo de tem dimensão 2.
  • A imagem de também tem dimensão 2.
  • Pelo teorema do posto e núcleo, , que confirma 4 = 2 + 2.
Vamos escolher uma base para que seja composta pelos vetores do núcleo e por outros dois vetores que se mapeiam para a base da imagem. Por exemplo, podemos completar a base do núcleo com dois vetores que não estão no núcleo, digamos e .

Passo 5

Com essa base, a transformação pode ser definida de forma que:
Isso garante que os vetores do núcleo sejam enviados para zero e que a imagem de seja exatamente a combinação linear dos vetores escolhidos.

Resposta

A transformação linear T = 1 & 0 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 1 pode ser representada pela seguinte matriz:
Essa matriz satisfaz as condições dadas para o núcleo e a imagem de .

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