Nos Exercícios 25-28, determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
26. x+2 y+ z=2
2 x-2 y+ 3 z=1
x+2 y-(a^2-3) z=a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores de o sistema de equações abaixo não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções. A gente vai usar um pouco de álgebra linear, mais especificamente o método da eliminação de Gauss, pra resolver isso. Precisamos manipular as equações para descobrir essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
x + 2y + z = 2 2x - 2y + 3z = 1 x + 2y - (a^2 - 3)z = a

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 2 & 1 & | & 2 2 & -2 & 3 & | & 1 1 & 2 & -(a^2 - 3) & | & a

Passo 4

Vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Primeiro, queremos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (posição (1,1)). Para isso, vamos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha, e a terceira linha pela terceira linha menos a primeira linha.
Depois dessa operação, a matriz fica assim:
1 & 2 & 1 & | & 2 0 & -6 & 1 & | & -3 0 & 0 & -(a^2 - 4) & | & a - 2

Passo 5

Agora, observamos a última linha da matriz. Ela nos dá a equação:
-(a^2 - 4)z = a - 2
Podemos simplificar isso para:
(a^2 - 4)z = 2 - a

Passo 6

Vamos analisar agora as possibilidades:
  1. Se z = 2 - aa^2 - 4 , ou seja, 0 cdot z = 2 - a e 0 cdot z = 0 , então podemos resolver para 0 cdot z = 4 :
Isso significa que há uma solução única para o sistema.
  1. Se , ou seja, ou , então a equação se torna:
Vamos ver o que acontece para cada valor:
  • Para :
Isso é verdadeiro para qualquer valor de , indicando que há infinitas soluções, pois a última equação não adiciona restrição.
  • Para :
Isso é impossível, já que . Portanto, não há solução para o sistema nesse caso.

Resposta

  • Não tem solução quando .
  • Tem exatamente uma solução para todos os valores de diferentes de e .
  • Tem uma infinidade de soluções quando .

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