Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada x^2+y^2=z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar a equação de uma superfície que está em coordenadas cartesianas, que é x^2 + y^2 = z^2, para coordenadas esféricas. Isso significa que vamos precisar conhecer as fórmulas de conversão entre esses dois sistemas de coordenadas. Em coordenadas esféricas, usamos três parâmetros: r (a distância do ponto até a origem), theta (o ângulo com o eixo z) e phi (o ângulo no plano xy a partir do eixo x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (r, theta, phi). As fórmulas são:
x = r sin theta cos phi
y = r sin theta sin phi
z = r cos theta
Agora, vamos substituir essas expressões na equação dada x^2 + y^2 = z^2.

Passo 3

Substituindo as fórmulas de x, y e z na equação:
(r sin theta cos phi)^2 + (r sin theta sin phi)^2 = (r cos theta)^2
Vamos simplificar cada termo:
r^2 sin^2 theta cos^2 phi + r^2 sin^2 theta sin^2 phi = r^2 cos^2 theta
Fatorando r^2 sin^2 theta no lado esquerdo:
r^2 sin^2 theta (cos^2 phi + sin^2 phi) = r^2 cos^2 theta
Sabemos que cos^2 phi + sin^2 phi = 1, então:
r^2 sin^2 theta = r^2 cos^2 theta
Podemos dividir ambos os lados por r^2 (desde que r neq 0):
sin^2 theta = cos^2 theta
Isso implica que:
tan^2 theta = 1 Rightarrow theta = 45^circ ou theta = 135^circ
Mas, em coordenadas esféricas, o ângulo theta geralmente varia de 0 a 180^circ, então ambas as soluções são válidas, representando superfícies simétricas em relação ao plano xy.

Resposta

A equação em coordenadas esféricas da superfície é theta = 45^circ ou theta = 135^circ.

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