Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar a equação de uma superfície que está em coordenadas cartesianas, que é
, para coordenadas esféricas. Isso significa que vamos precisar conhecer as fórmulas de conversão entre esses dois sistemas de coordenadas. Em coordenadas esféricas, usamos três parâmetros:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo com o eixo
) e
(o ângulo no plano
a partir do eixo
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas
para esféricas
. As fórmulas são:
Agora, vamos substituir essas expressões na equação dada
.
Passo 3
Substituindo as fórmulas de
,
e
na equação:
Vamos simplificar cada termo:
Fatorando
no lado esquerdo:
Sabemos que
, então:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Isso implica que:
Mas, em coordenadas esféricas, o ângulo
geralmente varia de
a
, então ambas as soluções são válidas, representando superfícies simétricas em relação ao plano
.
Resposta
A equação em coordenadas esféricas da superfície é
ou
.
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que satisfaz:
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