Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superficie cuja equaçào em coordenadas esféricas é dada
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar uma equação que está em coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. O enunciado é: Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por
. Para isso, vamos precisar entender as relações entre coordenadas esféricas e cartesianas e aplicar um pouco de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas (
) se relacionam com as coordenadas cartesianas (
). As fórmulas de conversão são:
Aqui,
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo no plano
(azimutal), e
é o ângulo com o eixo
(polar).
Passo 3
A equação dada é
. Vamos lembrar que
é o mesmo que
. Então podemos reescrever a equação assim:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir
pela expressão em coordenadas cartesianas. Sabemos que:
Então, substituindo na equação, fica:
Resposta
A equação da superfície em coordenadas cartesianas é:
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Determine a transformação linear
que satisfaz:
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