Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superficie cuja equaçào em coordenadas esféricas é dada r=9 sec phi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar uma equação que está em coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. O enunciado é: Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por . Para isso, vamos precisar entender as relações entre coordenadas esféricas e cartesianas e aplicar um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas ( x = r sin phi cos theta ) se relacionam com as coordenadas cartesianas ( y = r sin phi sin theta ). As fórmulas de conversão são:
z = r cos phi
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano (azimutal), e é o ângulo com o eixo (polar).

Passo 3

A equação dada é r = 9cos phi . Vamos lembrar que r cos phi = 9 é o mesmo que . Então podemos reescrever a equação assim:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir z = r cos phi pela expressão em coordenadas cartesianas. Sabemos que:
z = 9
Então, substituindo na equação, fica:

Resposta

A equação da superfície em coordenadas cartesianas é:
z = 9

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