Determine se é transformação linear.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação
definida por
. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre Transformações Lineares. Para determinar se
é uma transformação linear, precisamos verificar se ela satisfaz duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que, para quaisquer vetores
e
em
, a transformação deve satisfazer:
Vamos calcular os dois lados dessa igualdade.
Passo 3
Calculando
:
Primeiro, somamos os vetores
e
:
Agora, aplicamos a transformação
nesse vetor:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Primeiro, aplicamos a transforma��ão separadamente em
e
:
Somando os resultados:
Passo 5
Comparando os resultados dos Passos 3 e 4:
Vemos que eles não são iguais, pois
e
.
Passo 6
Como a propriedade da aditividade não foi satisfeita, já podemos concluir que
não é uma transformação linear. Não precisamos verificar a homogeneidade, pois basta uma das propriedades não ser atendida para a transformação não ser linear.
Resposta
A transformação
não é uma transformação linear.