Determine se é transformação linear. T: R^2 R^2, T(x, y)=(x+1, y+2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação definida por . O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre Transformações Lineares. Para determinar se é uma transformação linear, precisamos verificar se ela satisfaz duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que, para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e em , a transformação deve satisfazer:
Vamos calcular os dois lados dessa igualdade.

Passo 3

Calculando u + v = (u1 + v1, u2 + v2) :
Primeiro, somamos os vetores T(u + v) = (u1 + v1 + 1, u2 + v2 + 2) e :
Agora, aplicamos a transformação nesse vetor:

Passo 4

Agora, vamos calcular T(u) = (u1 + 1, u2 + 2) :
Primeiro, aplicamos a transforma��ão separadamente em T(v) = (v1 + 1, v2 + 2) e T(u) + T(v) = (u1 + 1 + v1 + 1, u2 + 2 + v2 + 2) = (u1 + v1 + 2, u2 + v2 + 4) :
Somando os resultados:

Passo 5

Comparando os resultados dos Passos 3 e 4:
T(u + v) = (u1 + v1 + 1, u2 + v2 + 2)
T(u) + T(v) = (u1 + v1 + 2, u2 + v2 + 4)
Vemos que eles não são iguais, pois e .

Passo 6

Como a propriedade da aditividade não foi satisfeita, já podemos concluir que não é uma transformação linear. Não precisamos verificar a homogeneidade, pois basta uma das propriedades não ser atendida para a transformação não ser linear.

Resposta

A transformação não é uma transformação linear.

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