Determine a transformaçâo linear T que representa uma: projeçâo ortogonal de vetores do
no eixo
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa determinar a transformação linear
que representa uma projeção ortogonal de vetores do
no eixo
. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e projeções ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender como uma transformação linear pode “projetar” qualquer vetor do plano no eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção ortogonal. Imagine que você tem um vetor no plano
e quer “projetá-lo” diretamente sobre o eixo
. Isso significa que você vai transformar esse vetor de maneira que ele fique alinhado apenas com o eixo
, mantendo a sua componente
e eliminando a componente
.
Passo 3
Vamos considerar um vetor qualquer no
, que pode ser representado como
. Queremos encontrar uma matriz que, ao multiplicar esse vetor, resultará em um vetor projetado no eixo
.
Como queremos eliminar a componente
e manter a componente
, a transformação deve transformar
em
.
Passo 4
Para isso, vamos construir uma matriz de transformação
que faça isso. A matriz
multiplicada pelo vetor
deve resultar em
.
A matriz que faz isso é:
Vamos verificar:
Isso confirma que
está projetando o vetor no eixo
corretamente.
Resposta
A transformação linear
que representa a projeção ortogonal de vetores de
no eixo
é dada pela matriz: