Determine a transformaçâo linear T que representa uma: projeçâo ortogonal de vetores do no eixo ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa determinar a transformação linear que representa uma projeção ortogonal de vetores do no eixo . Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e projeções ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender como uma transformação linear pode “projetar” qualquer vetor do plano no eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção ortogonal. Imagine que você tem um vetor no plano e quer “projetá-lo” diretamente sobre o eixo . Isso significa que você vai transformar esse vetor de maneira que ele fique alinhado apenas com o eixo , mantendo a sua componente e eliminando a componente .
Passo 3
Vamos considerar um vetor qualquer no , que pode ser representado como . Queremos encontrar uma matriz que, ao multiplicar esse vetor, resultará em um vetor projetado no eixo .
Como queremos eliminar a componente e manter a componente , a transformação deve transformar em .
Passo 4
Para isso, vamos construir uma matriz de transformação que faça isso. A matriz multiplicada pelo vetor deve resultar em .
A matriz que faz isso é:
Vamos verificar:
Isso confirma que está projetando o vetor no eixo corretamente.
Resposta
A transformação linear que representa a projeção ortogonal de vetores de no eixo é dada pela matriz: